Material digital · uma página por aula
Laboratório das aulas
Cada aula tem uma página de laboratório para testar as técnicas vistas em sala: um roteiro guiado de missões curtas, exemplos para explorar à vontade e uma parte em dimensão n, em que as ideias vistas no plano e no espaço continuam valendo. O progresso do roteiro fica guardado apenas no seu navegador.
Matrizes e eliminação de Gauss
Aula 111/08 · ter
Geometria das equações lineares I
Sistemas lineares de duas equações e duas incógnitas pela imagem das linhas e pela imagem das colunas, combinações lineares, os casos de uma solução, nenhuma ou infinitas, retas quase paralelas e, em ℝⁿ, sinais escritos como combinações lineares de padrões.
Aula 218/08 · ter
Geometria das equações lineares II
Sistemas 3 × 3 pela imagem das linhas (três planos do espaço euclidiano E³, formado por pontos, e as retas em que eles se cortam dois a dois) e pela imagem das colunas (o vetor dos termos independentes como combinação linear das colunas, vetores de ℝ³), os casos singulares e, em dimensão n, o conjunto solução quando as equações são acrescentadas uma a uma.
Aula 325/08 · ter
Eliminação de Gauss
Eliminação de Gauss passo a passo na matriz aumentada [A | b], com pivôs, multiplicadores, troca de linhas, casos singulares e substituição regressiva, num modo em que você calcula cada passo; em ℝⁿ, o número de operações da eliminação de uma matriz n × n, próximo de n³/3 para n grande, e o efeito de um pivô muito pequeno nas contas em ponto flutuante.
Aula 401/09 · ter
Propriedades elementares das matrizes I
O produto de matrizes calculado de quatro maneiras, os tamanhos compatíveis, os produtos AB e BA de duas matrizes A e B aplicados aos pontos de uma figura do plano e o custo das duas maneiras de pôr os parênteses num produto de três matrizes. Em dimensão n, as potências da matriz de adjacência contam os passeios num grafo dirigido, e uma cadeia de produtos é calculada na ordem mais barata.
Aula 508/09 · ter
Propriedades elementares das matrizes II
Matrizes elementares e a fatoração A = LU passo a passo, PA = LU quando há trocas de linhas, a inversa por Gauss-Jordan em [A | I], a transposta, as matrizes simétricas e as permutações e, em ℝⁿ, o preenchimento de L e U, o custo de muitos lados direitos e a ordem de uma permutação.
Espaços vetoriais
Aula 615/09 · ter
Espaços vetoriais e subespaços, independência linear, bases e dimensão I
A definição de subespaço testada em oito subconjuntos do plano, o espaço das colunas e o espaço nulo de matrizes 3 × 2 e 3 × 3, um espaço vetorial com operações diferentes das usuais e, em ℝⁿ, pacotes com soma de controle zero e combinações lineares de padrões de imagem.
Aula 722/09 · ter
Espaços vetoriais e subespaços, independência linear, bases e dimensão II
Independência linear e espaço gerado com vetores arrastáveis em ℝ², ℝ³ e ℝ⁴, relações de dependência pela eliminação, coordenadas de um vetor em duas bases e, na parte em dimensão n, curvas de Bézier na base de Bernstein e compressão de imagens na base de Haar.
Aula 829/09 · ter
Resolução de Ax = 0 e Ax = b
A forma escalonada reduzida passo a passo, as variáveis pivô e livres, o posto, as soluções especiais e a solução completa, numa rede de pacotes e em sistemas com três incógnitas, com os planos das equações, formados por pontos de E³, e o espaço nulo, formado por vetores de ℝ³; em ℝⁿ, a dimensão do espaço nulo, igual ao número de colunas menos o posto, e blocos de imagem com as somas das linhas e das colunas fixadas.
Aula 906/10 · ter
Os quatro subespaços fundamentais
Os quatro subespaços fundamentais de uma matriz A de tamanho m × n e posto r, com as suas dimensões e bases exatas, a decomposição de cada vetor de ℝⁿ numa parte no espaço das linhas e outra no espaço nulo, o teste com o espaço nulo à esquerda que decide se Ax = b tem solução e, em ℝⁿ, a matriz de incidência de um grafo, cujo espaço nulo é formado pelos vetores constantes em cada componente conexa e cujo espaço nulo à esquerda é gerado pelos vetores dos ciclos.
Aula 1020/10 · ter
Transformações lineares I
Transformações lineares de ℝ², determinadas pelas imagens dos dois vetores da base canônica: rotação, reflexão, projeção e cisalhamento aplicados a uma grade e ao desenho de uma casa, o teste da definição de transformação linear em dois contraexemplos e, em ℝⁿ, a matriz da derivada de polinômios e a rotação e a projeção de um cubo de ℝ³.
Aula 1122/10 · qui
Transformações lineares II
Composição de transformações lineares do plano como produto das matrizes canônicas: a composição de duas rotações é a rotação pela soma dos ângulos, e a de duas reflexões é uma rotação. Coordenadas e matriz de uma transformação numa base qualquer. Em ℝⁿ, filtros de sinais e de imagens representados por matrizes.
Ortogonalidade
Aula 1227/10 · ter
Projeções
O produto interno e a ortogonalidade, a projeção ortogonal sobre uma reta de ℝ² e sobre um plano de ℝ³, com o erro ortogonal ao subespaço, a matriz de projeção P, com P² = P e Pᵀ = P, a reta de mínimos quadrados comparada com uma reta ajustada por você e, em ℝⁿ, o ajuste de polinômios a medições e o sobreajuste.
Aula 1303/11 · ter
Bases ortogonais e processo de Gram-Schmidt
O processo de Gram-Schmidt passo a passo em ℝ² e ℝ³, com as projeções subtraídas em cada passo, a fatoração QR, matrizes ortogonais, cuja multiplicação preserva comprimentos e produtos internos, e, em ℝⁿ, a perda de ortogonalidade do Gram-Schmidt clássico em ponto flutuante e a compressão de sinais numa base ortonormal de cossenos.
Determinantes, autovalores e autovetores
Aula 1417/11 · ter
Determinantes I
O determinante definido por três propriedades, com as consequências delas testadas em experimentos que mostram a matriz antes e depois de cada operação, a área com sinal do paralelogramo das colunas em ℝ², o volume com sinal do paralelepípedo das colunas em ℝ³ e, para matrizes n × n, o determinante pelos pivôs da eliminação e o custo do cálculo: cerca de n³/3 multiplicações e divisões, contra os n! termos da fórmula do determinante.
Aula 1519/11 · qui
Determinantes II
A fórmula do determinante de uma matriz n × n como soma de n! termos, um para cada permutação, montada com torres num tabuleiro de 2 × 2 a 4 × 4; a expansão em cofatores; a inversa por cofatores e a regra de Cramer como razão entre áreas com sinal. Em ℝⁿ, os n! termos até n = 7 e a matriz tridiagonal com 2 na diagonal e −1 logo acima e logo abaixo dela, de determinante n + 1.
Aula 1624/11 · ter
Autovalores, autovetores, diagonalização I
Autovalores e autovetores de matrizes 2 × 2: as direções em que Ax é múltiplo de x, o polinômio característico e as suas raízes, o traço e o determinante, a rotação sem autovetor real e o cisalhamento com uma só direção de autovetores; em ℝⁿ, autovalores no plano complexo, o método das potências e as notas de uma rede de páginas.
Aula 1726/11 · qui
Autovalores, autovetores, diagonalização II
A diagonalização de uma matriz 2 × 2, montada com autovetores arrastados no plano, e o cálculo das potências da matriz pelos autovalores, nos números de Fibonacci, numa matriz de Markov e no cisalhamento, que não é diagonalizável; em ℝⁿ, uma cadeia de Markov com n servidores, em que as potências da matriz se aproximam de uma matriz de posto 1 quando a cadeia converge.