Centro de Informática · UFPE Álgebra Vetorial e LinearCIN0138 · 2026.2
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Aula 6 · 15/09 (ter) · Módulo 2 · laboratório

Espaços vetoriais e subespaços, independência linear, bases e dimensão I

Nesta aula você estuda espaços vetoriais e subespaços vetoriais. Na bancada, você testa a definição de subespaço em oito subconjuntos do plano e vê o espaço das colunas e o espaço nulo de uma matriz 3 × 2 ou 3 × 3. Também examina um espaço vetorial com operações diferentes das usuais, em que o vetor nulo é (0, 1)T.

É subespaço?

Os múltiplos λu

Para os vetores u e v e o subconjunto S do quadro É subespaço?, esta reta dos escalares λ mostra em verde os valores de λ para os quais o múltiplo λu pertence a S. Arraste λ sobre a reta.

Veredito

Subconjuntos S do plano

Escalar λ

Pelo teclado: clique numa figura e use as setas; a barra de espaço alterna o vetor que se move.

Em dimensão n

Subespaços que não cabem num desenho

Em ℝn, o teste é o mesmo: um subconjunto é subespaço se, e somente se, contém o vetor nulo e é fechado para a soma e para a multiplicação por escalar. Os dois exemplos a seguir vêm da computação. O primeiro é o conjunto dos pacotes de n números cuja soma, chamada de soma de controle, é zero. O segundo usa as imagens de k × k pixels, que, lidas linha por linha, são vetores de ℝk2.

Soma de controle zero

Um pacote de n números é um vetor x = (x1, …, xn)T de ℝn, e a sua soma de controle é x1 + ⋯ + xn. O conjunto dos pacotes com soma de controle zero se escreve H = {x ∈ ℝn : x1 + ⋯ + xn = 0}. Arraste as barras do pacote x.

Padrões de imagem

Padrão P: 1 nas linhas ímpares e 0 nas pares
Padrão Q: 1 nas colunas ímpares e 0 nas pares
Alvo T

Passe o mouse sobre um pixel para ver a coordenada correspondente nas barras: a imagem, lida linha por linha, é uma lista de k2 números.

Soma de controle

Coeficientes dos padrões

Alvo T

Conceitos da aula

Espaços vetoriais e subespaços

Uma guia por conceito, cada um com a definição, um exemplo resolvido e o lugar da bancada em que ele aparece. A notação é a do livro-texto (seção 2.1).

As propriedades da soma de vetores e da multiplicação por escalar em ℝn valem em muitos outros conjuntos. A definição de espaço vetorial reúne essas propriedades.

Espaço vetorial

Definição

Um espaço vetorial (sobre ℝ) é um conjunto V, cujos elementos chamamos de vetores, com duas operações. A soma associa a cada par de vetores u, v ∈ V um vetor u + v ∈ V. A multiplicação por escalar associa a cada escalar λ ∈ ℝ e a cada vetor v ∈ V um vetor λv ∈ V. Ou seja, V é fechado para as duas operações. Além disso, para quaisquer vetores u, v, w ∈ V e quaisquer escalares λ, μ ∈ ℝ, valem os oito axiomas:

  1. (u + v) + w = u + (v + w) (associatividade da soma);
  2. u + v = v + u (comutatividade da soma);
  3. existe um vetor 0 ∈ V tal que v + 0 = v para todo v ∈ V (vetor nulo);
  4. para cada v ∈ V, existe −v ∈ V tal que v + (−v) = 0 (oposto);
  5. λ(μv) = (λμ)v (associatividade da multiplicação por escalar);
  6. 1v = v;
  7. λ(u + v) = λu + λv (distributividade em relação à soma de vetores);
  8. (λ + μ)v = λv + μv (distributividade em relação à soma de escalares).

Para mostrar que um conjunto com duas operações é um espaço vetorial, é preciso verificar o fechamento e os oito axiomas. Para mostrar que não é, basta encontrar um caso em que uma dessas exigências falhe.

Exemplos de espaços vetoriais

  • ℝn, com a soma e a multiplicação por escalar coordenada a coordenada.
  • O conjunto das matrizes m × n, com a soma de matrizes e a multiplicação de uma matriz por um escalar.
  • O conjunto das funções de ℝ em ℝ, com as operações definidas ponto a ponto: para quaisquer funções f e g, todo escalar λ ∈ ℝ e todo t ∈ ℝ, (f + g)(t) = f(t) + g(t) e (λf)(t) = λf(t).
  • As imagens de k × k pixels com um número real qualquer em cada pixel, com a soma e a multiplicação por escalar feitas pixel a pixel. Lida linha por linha, cada imagem é um vetor de ℝk2, e essas operações são as de ℝk2.

Exemplo

Em ℝ2, com u = (1, 2)T, λ = 2 e μ = −1, o axioma 8 afirma que (λ + μ)u = λu + μu. De fato:

(λ + μ)u = (2 − 1)·(1, 2)T = (1, 2)T,

λu + μu = (2, 4)T + (−1, −2)T = (1, 2)T.

Na bancada: o modo Outras operações mostra um espaço vetorial de pares de números reais em que as operações não são as usuais e o vetor nulo é (0, 1)T, e não (0, 0)T.

Um subespaço é um subconjunto de um espaço vetorial que, com as mesmas operações, também é um espaço vetorial. Na prática, basta verificar três condições.

Subespaço vetorial

Definição

Seja V um espaço vetorial. Um subconjunto H ⊆ V é um subespaço vetorial de V se H, com a soma e a multiplicação por escalar de V, é ele próprio um espaço vetorial.

Teorema

Um subconjunto H ⊆ V é subespaço de V se, e somente se:

  1. 0 ∈ H;
  2. u + v ∈ H para quaisquer u, v ∈ H (fechado para a soma);
  3. λu ∈ H para todo λ ∈ ℝ e todo u ∈ H (fechado para a multiplicação por escalar).

Por que três condições bastam: as condições 2 e 3 dizem que H é fechado para as duas operações. Os axiomas 1, 2, 5, 6, 7 e 8 valem para todos os vetores de V, logo valem para os de H. O axioma 3 vale porque o vetor nulo pertence a H (condição 1). O axioma 4 vale porque, para cada u ∈ H, o oposto −u = (−1)u pertence a H (condição 3 com λ = −1).

Pela condição 1, um subconjunto que não contém o vetor nulo nunca é subespaço. Se H tem algum vetor u, a condição 3 com λ = 0 já dá 0u = 0 ∈ H. Assim, para um subconjunto não vazio, a condição 1 decorre da condição 3.

Como decidir

Para provar que H é subespaço, verifique as três condições para vetores e escalares quaisquer. Para provar que não é, basta mostrar que o vetor nulo não pertence a H ou dar um contraexemplo: vetores u, v ∈ H e um escalar λ tais que u + v ou λu não pertença a H.

Exemplo

A reta H = {(x, y)T : y = 2x} é subespaço de ℝ2. Ela contém (0, 0)T, pois 0 = 2·0. Sejam u e v vetores de H, com primeiras coordenadas μ1 e μ2. Como a segunda coordenada de cada vetor de H é o dobro da primeira, u = (μ1, 2μ1)T e v = (μ2, 2μ2)T. Para todo λ ∈ ℝ,

u + v = (μ1 + μ2, 2(μ1 + μ2))T ∈ H,

λu = (λμ1, 2(λμ1))T ∈ H.

Já o primeiro quadrante, o conjunto dos vetores (x, y)T com x ≥ 0 e y ≥ 0, não é subespaço. O vetor u = (1, 1)T pertence a ele, mas, com λ = −1, o vetor λu = (−1, −1)T não pertence.

Os subespaços de ℝ2 e de ℝ3

Os subespaços de ℝ2 são o conjunto {0}, as retas que passam pela origem e o próprio ℝ2. Os subespaços de ℝ3 são {0}, as retas que passam pela origem, os planos que passam pela origem e o próprio ℝ3.

Uma reta ou um plano que não passa pela origem não é subespaço, porque não contém o vetor nulo.

Na bancada: no modo É subespaço?, escolha um subconjunto S no painel Subconjuntos S do plano, mova os vetores u e v no quadro É subespaço? e o escalar λ no quadro Os múltiplos λu. O quadro Veredito registra os contraexemplos encontrados.

Uma pergunta sobre sistemas lineares leva a este conceito: dada uma matriz A, para quais vetores b o sistema Ax = b tem solução?

Espaço das colunas

Definição

Seja A uma matriz m × n com colunas a1, …, an ∈ ℝm. O espaço das colunas de A, que se escreve C(A), é o conjunto de todas as combinações lineares das colunas de A:

C(A) = {x1a1 + ⋯ + xnan : x1, …, xn ∈ ℝ}.

Como Ax = x1a1 + ⋯ + xnan para todo x = (x1, …, xn)T ∈ ℝn, também vale

C(A) = {Ax : x ∈ ℝn}.

C(A) é um subespaço de ℝm. Ele contém o vetor nulo, pois A0 = 0. Para quaisquer x, y ∈ ℝn e todo λ ∈ ℝ, os vetores Ax + Ay = A(x + y) e λ(Ax) = A(λx) também pertencem a C(A). Pela segunda forma de C(A), o sistema Ax = b tem solução exatamente quando b = Ax para algum x ∈ ℝn. Essa é a propriedade mais usada:

Ax = b tem solução  ⇔  b ∈ C(A).

Um exemplo em ℝ3

Exemplo

Para A = 100111, de colunas a1 = (1, 0, 1)T e a2 = (0, 1, 1)T, as combinações lineares das colunas são

x1101 + x2011 = x1x2x1 + x2,

logo C(A) é formado pelos vetores de ℝ3 cuja terceira coordenada é a soma das duas primeiras: é um plano que passa pela origem. O vetor (2, 1, 3)T pertence a C(A), pois 3 = 2 + 1; de fato, (2, 1, 3)T = 2a1 + a2. O vetor (2, 1, 1)T não pertence, pois 1 ≠ 2 + 1. Assim, com b = (2, 1, 1)T, o sistema Ax = b não tem solução.

Na bancada: no modo Espaço das colunas e espaço nulo, o quadro Espaço das colunas desenha C(A) em ℝ3. Arraste o vetor b até um ponto de C(A) e depois para fora dele, e leia no quadro A matriz e os dois subespaços se o sistema Ax = b tem solução.

Dada uma matriz A, quais vetores x satisfazem Ax = 0? Esse sistema, em que o lado direito é o vetor nulo, se chama homogêneo, e as suas soluções formam o espaço nulo de A.

Espaço nulo

Definição

Seja A uma matriz m × n. O espaço nulo de A, que se escreve N(A), é o conjunto das soluções de Ax = 0:

N(A) = {x ∈ ℝn : Ax = 0}.

N(A) é um subespaço de ℝn. Ele contém o vetor nulo, pois A0 = 0. Se x e y pertencem a N(A), isto é, Ax = 0 e Ay = 0, então A(x + y) = Ax + Ay = 0 e A(λx) = λ(Ax) = 0 para todo λ ∈ ℝ.

Já as soluções de Ax = b com b ≠ 0 não formam um subespaço, porque o vetor nulo não é solução: A0 = 0 ≠ b.

Um exemplo em ℝ3

Exemplo

Na matriz A = 101011112, de colunas a1, a2 e a3, a terceira coluna é a soma das duas primeiras: a1 + a2 − a3 = 0. Como Ax é a combinação linear das colunas com os coeficientes x1, x2 e x3, o vetor x = (1, 1, −1)T satisfaz Ax = 0, e o mesmo vale para todos os seus múltiplos. Não há outros vetores com Ax = 0: as duas primeiras equações de Ax = 0 são x1 + x3 = 0 e x2 + x3 = 0, e a terceira é a soma delas. Logo x1 = x2 = −x3, isto é, x = −x3(1, 1, −1)T. Assim,

N(A) = {λ(1, 1, −1)T : λ ∈ ℝ},

uma reta que passa pela origem de ℝ3.

Na bancada: no modo Espaço das colunas e espaço nulo, escolha o exemplo “3 × 3 com a3 = a1 + a2” no painel Exemplos de matrizes e arraste o vetor x no quadro Espaço nulo até que Ax = 0, com x ≠ 0.

Um espaço vetorial é um conjunto com duas operações que satisfazem os oito axiomas. Com outras operações, o mesmo conjunto pode formar outro espaço vetorial. Neste exemplo, o conjunto é o dos pares de números reais, mas a soma e a multiplicação por escalar não são as usuais.

Um espaço vetorial com outras operações

No conjunto V dos pares (p, s)T de números reais, defina a soma ⊕ e a multiplicação por escalar ⊙ assim: para quaisquer pares (p, s)T e (p′, s′)T de V e todo escalar λ ∈ ℝ,

(p, s)T ⊕ (p′, s′)T = (p + p′, s + s′ − 1)T

λ ⊙ (p, s)T = (λp, λ(s − 1) + 1)T

Com essas operações, V é fechado e satisfaz os oito axiomas, como mostra o texto Por que os axiomas valem, abaixo. O vetor nulo de V, que se escreve 0V, é o par (0, 1)T, pois (p, s)T ⊕ (0, 1)T = (p, s + 1 − 1)T = (p, s)T. O oposto de (p, s)T é (−p, 2 − s)T, pois (p, s)T ⊕ (−p, 2 − s)T = (0, 1)T.

Por que os axiomas valem

Considere a função φ de V em ℝ2 que subtrai 1 da segunda coordenada: φ(p, s) = (p, s − 1)T. Cada vetor de ℝ2 é imagem por φ de exatamente um par de V: o par com a mesma primeira coordenada e a segunda coordenada aumentada de 1. Para u = (p, s)T e v = (p′, s′)T em V e todo λ ∈ ℝ,

φ(u ⊕ v) = (p + p′, s + s′ − 2)T,

φ(u) + φ(v) = (p + p′, s + s′ − 2)T,

φ(λ ⊙ u) = (λp, λ(s − 1))T = λφ(u).

Assim, φ leva ⊕ na soma usual de ℝ2 e ⊙ na multiplicação por escalar usual. Por isso, cada axioma de V decorre do axioma correspondente de ℝ2. Por exemplo, para o axioma 2, φ(u ⊕ v) = φ(u) + φ(v) = φ(v) + φ(u) = φ(v ⊕ u), e, como pares diferentes têm imagens diferentes por φ, u ⊕ v = v ⊕ u.

Pelo mesmo motivo, uma reta do plano é subespaço de V se, e somente se, as imagens dos seus pontos por φ formam uma reta que passa pela origem. Como φ só subtrai 1 da segunda coordenada, isso acontece exatamente quando a reta passa pelo ponto (0, 1), como a reta p + s = 1.

Exemplo

Com u = (1, 0)T e λ = 2: λ ⊙ u = (2·1, 2·(0 − 1) + 1)T = (2, −1)T. Aplicando φ, obtém-se φ(u) = (1, −1)T e φ(2 ⊙ u) = (2, −2)T = 2φ(u).

Na bancada: no modo Outras operações, o quadro Pares (p, s)T com ⊕ e ⊙ mostra V com as operações ⊕ e ⊙, e o quadro O mesmo espaço a partir do vetor nulo mostra os mesmos vetores nas coordenadas (p, s − 1).

Para pensar

A união de dois subespaços é um subespaço?

Nem sempre. Os dois eixos coordenados são subespaços de ℝ2, mas (1, 0)T + (0, 1)T = (1, 1)T não pertence à união deles. Já a interseção de dois subespaços H1 e H2 de um espaço vetorial é sempre um subespaço. O vetor nulo pertence aos dois. Se os vetores u e v pertencem aos dois e λ ∈ ℝ, então u + v e λu também pertencem aos dois, porque cada um deles é fechado para a soma e para a multiplicação por escalar.

Por que todo subespaço contém o vetor nulo?

Um subespaço H não é vazio, porque é um espaço vetorial. Se o vetor u pertence a H, o múltiplo 0u também pertence, pela condição de fechamento para a multiplicação por escalar com λ = 0. E 0u é o vetor nulo: de 0u = (0 + 0)u = 0u + 0u, somando o oposto de 0u aos dois lados, obtém-se 0 = 0u. Por isso, uma reta que não passa pela origem não é subespaço.

O espaço das colunas de uma matriz 3 × 2 pode ser todo o ℝ3?

Não. As combinações lineares de duas colunas formam o conjunto {0}, uma reta que passa pela origem ou um plano que passa pela origem, e nenhum desses conjuntos é ℝ3. Para que todo vetor b ∈ ℝ3 seja combinação linear das colunas, a matriz precisa de pelo menos três colunas. Com exatamente três colunas, é preciso também que nenhuma delas seja combinação linear das outras duas.