Espaços vetoriais e subespaços, independência linear, bases e dimensão II

Vetores linearmente independentes

A combinação linear com todos os coeficientes nulos, chamada de combinação trivial, sempre dá o vetor nulo. Os vetores são LI quando ela é a única combinação linear deles igual ao vetor nulo.

Por quê. Suponha que λ₁v₁ + ⋯ + λ_kv_k = 0 e que algum coeficiente λ_j seja diferente de zero. Dividindo a igualdade por λ_j e isolando v_j, obtemos v_j como combinação linear dos outros vetores. Reciprocamente, se v_j é igual a uma combinação linear dos outros vetores, subtrair v_j dos dois lados dessa igualdade dá uma relação de dependência em que o coeficiente de v_j é −1. Da definição e do teorema saem três consequências:

• toda lista que contém o vetor nulo é LD, pois o coeficiente 1 no vetor nulo e 0 nos outros vetores dá uma relação de dependência;
• um único vetor v é LI se, e somente se, v ≠ 0;
• dois vetores são LD se, e somente se, um deles é múltiplo escalar do outro.

O teste pela eliminação

Sejam v₁, …, v_k vetores de ℝ^m, e seja V a matriz de tamanho m × k cuja coluna j é v_j. Escrevendo os coeficientes num vetor x = (λ₁, …, λ_k)^T, a combinação linear λ₁v₁ + ⋯ + λ_kv_k é o produto Vx. Assim, as relações de dependência correspondem às soluções não nulas do sistema homogêneo Vx = 0. O conjunto das soluções desse sistema é o espaço nulo de V, que se escreve N(V) (Aula 6). Logo os vetores são LI se, e somente se, N(V) = {0}.

Para decidir se os vetores são LI e, quando não são, encontrar uma relação de dependência, siga três passos.

1. Aplique a eliminação de Gauss a V até obter uma forma escalonada U. As operações elementares sobre linhas não mudam as soluções do sistema, e por isso Ux = 0 e Vx = 0 têm as mesmas soluções.
2. Se toda coluna de U tem pivô, a substituição regressiva em Ux = 0 dá x = 0, e os vetores são LI.
3. Se alguma coluna de U não tem pivô, dê o valor 1 ao coeficiente dessa coluna e o valor 0 aos coeficientes das outras colunas sem pivô. A substituição regressiva em Ux = 0 determina os coeficientes das colunas com pivô, e o resultado é uma relação de dependência: os vetores são LD.

Cada linha de U tem no máximo um pivô, logo U tem no máximo m pivôs. Se k > m, alguma coluna fica sem pivô: mais de m vetores de ℝ^m são sempre LD.

Na bancada: no modo Independência e espaço gerado, escolha Três vetores num plano no painel Listas de vetores. No quadro Eliminação e relações de dependência, percorra os passos até a forma escalonada U e clique em Usar estes coeficientes: no quadro Os vetores e o espaço gerado, o caminho tracejado formado pelas setas λ₁v₁, λ₂v₂ e λ₃v₃, cada uma a partir da ponta da anterior, volta à origem.

Espaço gerado

Por quê. Com todos os coeficientes nulos, obtemos o vetor nulo, que portanto pertence ao espaço gerado. Com o coeficiente 1 em v_j e 0 nos outros vetores, obtemos v_j. Agora sejam u = λ₁v₁ + ⋯ + λ_kv_k e w = μ₁v₁ + ⋯ + μ_kv_k dois vetores do espaço gerado. Para todo escalar α ∈ ℝ,

que também são combinações lineares de v₁, …, v_k. Por fim, um subespaço que contém v₁, …, v_k é fechado para a soma e para a multiplicação por escalar, e por isso contém todas as combinações lineares deles. Para uma matriz A, o espaço das colunas C(A), estudado na Aula 6, é o espaço gerado pelas colunas de A.

Se v_k é combinação linear de v₁, …, v_k−1, então ger{v₁, …, v_k} = ger{v₁, …, v_k−1}: em qualquer combinação linear de v₁, …, v_k, basta substituir v_k pela sua expressão em termos dos outros vetores. Em palavras: acrescentar a uma lista um vetor que é combinação linear dos vetores da lista não muda o espaço gerado.

Retas e planos gerados

Em ℝ³, o espaço gerado por um vetor não nulo é uma reta que passa pela origem, e o espaço gerado por dois vetores LI é um plano que passa pela origem. Três vetores LI de ℝ³ geram todo o ℝ³ (veja a guia Base e dimensão).

Na bancada: no modo Independência e espaço gerado, o subtítulo do quadro Os vetores e o espaço gerado diz qual é o espaço gerado, e o próprio quadro o desenha em verde-petróleo: uma reta ou um plano que passa pela origem ou, quando os vetores geram todo o ℝ³, o paralelepípedo que tem três deles como arestas. Escolha Três vetores num plano no painel Listas de vetores e arraste a ponta de v₃ até que v₃ deixe de pertencer ao plano: o espaço gerado passa a ser todo o ℝ³. Enquanto v₃ está a uma distância de no máximo 0,45 do plano, a bancada o coloca no plano.

Base e dimensão

Por quê. A prova se apoia num fato: se n vetores v₁, …, v_n geram W, então quaisquer p vetores w₁, …, w_p de W, com p > n, são LD. O fato se prova em três passos.

1. Cada w_j é combinação linear de v₁, …, v_n. Escreva os coeficientes como w_j = a_1jv₁ + ⋯ + a_njv_n e forme a matriz A, de tamanho n × p, cuja entrada na linha i e na coluna j é a_ij.
2. A matriz A tem mais colunas que linhas. Pelo teste da guia Independência linear, existe x = (λ₁, …, λ_p)^T ≠ 0 com Ax = 0.
3. Na soma λ₁w₁ + ⋯ + λ_pw_p, o coeficiente de cada v_i é a entrada i de Ax, que é 0. Logo essa soma é o vetor nulo, com coeficientes não todos nulos: os vetores w₁, …, w_p são LD.

Agora considere duas bases de W, uma com n vetores e outra com p vetores. A primeira gera W, e a segunda é LI; pelo fato acima, p ≤ n. Trocando os papéis das duas bases, n ≤ p. Logo n = p.

Num espaço de dimensão n, valem quatro fatos:

• mais de n vetores são sempre LD;
• menos de n vetores nunca geram o espaço;
• n vetores LI formam uma base;
• n vetores que geram o espaço formam uma base.

Exemplos de bases

• Base canônica de ℝⁿ: para j = 1, …, n, o vetor e_j tem a entrada j igual a 1 e as outras iguais a 0. Todo x = (x₁, …, x_n)^T ∈ ℝⁿ é igual a x₁e₁ + ⋯ + x_ne_n, e essa combinação linear só é o vetor nulo quando todos os x_j são nulos. Logo e₁, …, e_n formam uma base de ℝⁿ, a base canônica, e dim ℝⁿ = n.
• Polinômios: todo polinômio de grau no máximo n na variável t é uma combinação linear dos polinômios 1, t, …, tⁿ, e essa combinação linear só é o polinômio nulo quando todos os coeficientes são nulos. Logo 1, t, …, tⁿ formam uma base do espaço dos polinômios de grau no máximo n, que tem dimensão n + 1.
• Espaço gerado: sejam v₁, …, v_k ∈ ℝ^m e V a matriz que os tem nas colunas, como na guia Independência linear. As colunas de V que ficam nas mesmas posições das colunas com pivô de uma forma escalonada U se chamam colunas pivô. As colunas pivô formam uma base de ger{v₁, …, v_k}. Elas são LI, porque as mesmas operações elementares levam a matriz formada só por elas a uma forma escalonada com pivô em todas as colunas. E cada coluna sem pivô é combinação linear delas, pela relação de dependência obtida com o coeficiente 1 nessa coluna e 0 nas outras colunas sem pivô. Logo a dimensão do espaço gerado é o número de pivôs.

Na bancada: no modo Independência e espaço gerado, o quadro Eliminação e relações de dependência diz qual é a dimensão do espaço gerado e se os vetores formam uma base do espaço ℝ^m a que pertencem. No painel Listas de vetores, compare Base canônica de ℝ³ com Quatro vetores em ℝ³. Na parte Em dimensão n, o indicador Dimensão do quadro Curvas de Bézier e a base de Bernstein mostra a dimensão n + 1 do espaço dos polinômios de grau no máximo n.

Coordenadas

Por quê. Os escalares existem porque B gera W. Eles são únicos porque B é LI: se v = λ₁b₁ + ⋯ + λ_nb_n = μ₁b₁ + ⋯ + μ_nb_n, subtraindo as duas expressões obtemos

e a independência linear dá λ_i = μ_i para todo i.

Coordenadas em ℝⁿ

Em ℝⁿ, ponha os vetores da base nas colunas de uma matriz, também chamada de B. Para um vetor x ∈ ℝⁿ, a igualdade x = λ₁b₁ + ⋯ + λ_nb_n se escreve x = B[x]_B. Assim, encontrar as coordenadas de x é resolver um sistema linear de matriz B. Como as colunas de B formam uma base, esse sistema tem uma única solução para cada x. Por isso a matriz B é invertível, e [x]_B = B⁻¹x. Na base canônica, as coordenadas de x são as suas próprias entradas.

Uma matriz 2 × 2 tem inversa se, e somente se, o produto das entradas da sua diagonal principal menos o produto das entradas da outra diagonal é diferente de zero (Aula 5). Assim, dois vetores de ℝ² formam uma base exatamente quando esse número, calculado para a matriz que tem os dois vetores nas colunas, é diferente de zero.

Bases quase dependentes. Os vetores b₁ = (1, 1)^T e b₂ = (1; 1,25)^T formam uma base de ℝ², mas o ângulo entre eles é de cerca de 6°. Nessa base, (2, 0)^T = 10b₁ − 8b₂ e (2; 0,25)^T = 9b₁ − 7b₂. As coordenadas existem e são únicas, mas são grandes comparadas com as entradas do vetor, e uma mudança de 0,25 numa entrada mudou cada coordenada em 1.

Na bancada: no modo Coordenadas numa base, o quadro Coordenadas na base B desenha a grade da base e o caminho tracejado que vai da origem à ponta de x pelas setas λ₁b₁ e λ₂b₂, em que λ₁ e λ₂ são as coordenadas de x. O quadro As coordenadas de x nas duas bases mostra a igualdade x = B[x]_B com os números. Arraste a ponta de x e compare as duas listas de coordenadas. No painel O que mostrar, você pode trocar a base canônica do quadro Coordenadas na base canônica por uma base B′ arrastável.

A base de Bernstein

Por quê. Pelo binômio de Newton, b_0,n(t) + ⋯ + b_n,n(t) = ((1 − t) + t)ⁿ = 1. Da mesma forma, para cada k = 0, 1, …, n, multiplicar t^k por ((1 − t) + t)^n−k = 1 e expandir escreve t^k como combinação linear de b_k,n, …, b_n,n. Como todo polinômio de grau no máximo n é combinação linear de 1, t, …, tⁿ, os n + 1 polinômios de Bernstein geram esse espaço. O espaço tem dimensão n + 1, e n + 1 vetores que geram um espaço de dimensão n + 1 formam uma base (guia Base e dimensão).

Curvas de Bézier

Os pontos do plano formam o plano euclidiano. Um ponto se escreve pelas suas coordenadas, sem T, como (1, 2), e o seu vetor posição é o vetor (1, 2)^T de ℝ², a seta que vai da origem até o ponto: os dois têm as mesmas coordenadas, mas são objetos diferentes. Sejam n + 1 pontos do plano euclidiano, chamados de pontos de controle e escritos P₀, …, P_n. A curva de Bézier de grau n com esses pontos de controle é o conjunto dos pontos B(t), para 0 ≤ t ≤ 1, dados por

Essa soma de pontos é calculada com os vetores posição: o vetor posição de B(t) é a combinação linear dos vetores posição de P₀, …, P_n com os coeficientes b_0,n(t), …, b_n,n(t). Escrevendo B(t) = (x(t), y(t)), as funções x(t) e y(t) são polinômios de grau no máximo n. As coordenadas de x(t) na base de Bernstein são as abscissas dos pontos de controle, e as de y(t) são as ordenadas. Mover o ponto de controle P_i muda só a coordenada de índice i de x(t) e de y(t).

Para cada t ∈ [0, 1], os valores b_i,n(t) são não negativos e somam 1. Por isso B(t) é uma média ponderada dos pontos de controle, e a curva fica dentro do menor polígono convexo que contém os pontos de controle, o fecho convexo deles. Em t = 0, só b_0,n é diferente de zero, e vale 1; em t = 1, só b_n,n é diferente de zero, e vale 1. Logo a curva começa em P₀ e termina em P_n.

Para um valor fixo de t, a construção de De Casteljau calcula B(t) com uma única operação, repetida: trocar dois pontos Q e R pelo ponto (1 − t)Q + tR, que pertence ao segmento de Q a R.

1. Comece com a lista P₀, …, P_n dos pontos de controle.
2. Troque cada par de pontos consecutivos da lista, na ordem em que aparecem, por esse ponto do segmento entre eles. A nova lista tem um ponto a menos.
3. Repita o passo 2 até restar um único ponto: esse ponto é B(t).

Na bancada: na parte Em dimensão n, arraste os pontos de controle no quadro Curvas de Bézier e a base de Bernstein e mova o controle Instante t do painel Curva de Bézier: os segmentos em âmbar são a construção de De Casteljau, e o ponto vermelho é B(t). O gráfico de barras abaixo da curva compara as coordenadas da ordenada y(t) nas duas bases. O botão Elevar o grau escreve a mesma curva na base de Bernstein de grau n + 1, com um ponto de controle a mais.

Blocos 2 × 2

Um bloco de 2 × 2 pixels, lido linha por linha, é um vetor de ℝ⁴. Considere os blocos B₀, com os quatro pixels iguais a 1; B_h, com 1 na linha de cima e −1 na de baixo; B_v, com 1 na coluna da esquerda e −1 na da direita; e B_d, com 1 na diagonal principal e −1 na outra. Seja X um bloco com pixels x₁, x₂ na linha de cima e x₃, x₄ na de baixo. Procuramos escalares λ₀, λ_h, λ_v e λ_d tais que X = λ₀B₀ + λ_hB_h + λ_vB_v + λ_dB_d. Essa igualdade é um sistema de quatro equações, uma por pixel, e a sua única solução é

Para obter, por exemplo, a fórmula de λ_h, multiplique cada uma das quatro equações pelo sinal do pixel correspondente em B_h e some as quatro. Nessa soma, os termos de B₀, B_v e B_d se cancelam, e o termo de B_h dá 4λ_h. As outras três fórmulas saem do mesmo modo. Diz-se que os blocos são ortogonais, assunto da Aula 12. As fórmulas mostram que o sistema tem no máximo uma solução, e substituí-las nas quatro equações confirma que elas formam uma solução. Como o sistema tem uma única solução para todo X, os quatro blocos geram ℝ⁴ e são LI: formam uma base de ℝ⁴, a base de Haar dos blocos 2 × 2. A coordenada λ₀ é a média dos pixels. A coordenada λ_h é a soma da linha de cima menos a soma da linha de baixo, dividida por 4, e λ_v e λ_d fazem o mesmo com as colunas e com as diagonais.

Imagens 8 × 8 e compressão

Uma imagem de 8 × 8 pixels, lida linha por linha, é um vetor de ℝ⁶⁴. Na base canônica de ℝ⁶⁴, cada vetor da base é uma imagem com um único pixel igual a 1 e os outros nulos, e as coordenadas de uma imagem são os seus 64 pixels. Divida a imagem em 1 bloco de 8 × 8 pixels, em 4 blocos de 4 × 4 ou em 16 blocos de 2 × 2. A base de Haar de ℝ⁶⁴ tem 64 padrões: a imagem constante, igual a 1 em todos os pixels, e, para cada um desses 21 blocos, os três padrões de diferença dos blocos B_h, B_v e B_d, ampliados ao tamanho do bloco e nulos fora dele. São 1 + 3·21 = 64 padrões. Eles se escrevem H₁, …, H₆₄, na ordem do grosso ao fino: H₁ é a imagem constante, H₂ a H₄ são os padrões do bloco de 8 × 8, H₅ a H₁₆ são os dos blocos de 4 × 4, e H₁₇ a H₆₄ são os dos blocos de 2 × 2.

A norma de uma imagem é a raiz quadrada da soma dos quadrados dos seus pixels; a norma da imagem X se escreve ‖X‖. Para comprimir X, escolha o número k de coordenadas a guardar e siga três passos.

1. Calcule as 64 coordenadas de X na base de Haar, os escalares λ₁, …, λ₆₄ tais que X = λ₁H₁ + ⋯ + λ₆₄H₆₄.
2. Guarde k das 64 coordenadas e troque as outras por zero. Na ordem Do grosso ao fino, guardam-se as de H₁, …, H_k. Na ordem Os maiores primeiro, guardam-se as dos k termos λ_jH_j de maior norma.
3. A reconstrução, que se escreve X_k, é a soma dos termos λ_jH_j guardados.

O erro relativo da reconstrução é ‖X − X_k‖/‖X‖. Numa imagem com grandes regiões de pixels iguais, muitas coordenadas de diferença são nulas, e guardar só as coordenadas não nulas reconstrói a imagem exatamente com poucos números. O formato JPEG segue a mesma ideia com outra base, a dos cossenos (DCT), em blocos de 8 × 8 pixels. Bases desse tipo, chamadas de ortonormais, são estudadas na Aula 13.

Na bancada: na parte Em dimensão n, escolha Bloco 2 × 2 no quadro Blocos de imagem e a base de Haar e ajuste os coeficientes no painel Base de Haar até a combinação linear ficar igual ao bloco alvo. Depois escolha Imagem 8 × 8, mude o número k de coeficientes guardados e compare as ordens Do grosso ao fino e Os maiores primeiro no gráfico do erro, abaixo das imagens.