Centro de Informática · UFPE Álgebra Vetorial e LinearCIN0138 · 2026.2
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Aula 3 · 25/08 (ter) · Módulo 1 · laboratório

Eliminação de Gauss

Nesta aula você estuda a eliminação de Gauss, que resolve o sistema linear Ax = b com operações elementares sobre as linhas da matriz aumentada [A | b]. Em cada coluna, a eliminação subtrai múltiplos da linha do pivô das linhas de baixo, até que as entradas abaixo do pivô sejam nulas; o sistema triangular obtido no fim se resolve por substituição regressiva, da última equação para a primeira. Na bancada, você acompanha cada passo na matriz e na imagem das linhas, em que as equações aparecem como retas do plano euclidiano E2 ou como planos do espaço euclidiano E3, conjuntos formados por pontos. Você também calcula multiplicadores e incógnitas, troca linhas quando aparece um zero na posição do pivô e reconhece os casos singulares.

Os planos

Passo a passo

Equações, multiplicadores e solução

Exemplos

Sistema [A | b]

As entradas podem ser inteiros, frações como 3/2 ou decimais como 0,5. A última coluna, depois da barra, é o lado direito b. Mudar o sistema recomeça a eliminação.

O que mostrar

Com um sistema 3 × 3, o quadro Os planos mostra os planos das equações no espaço euclidiano E3, formado por pontos. Arraste o fundo desse quadro para girar a vista. Pelo teclado, clique nesse quadro e use as setas para girar a vista e as teclas + e − para aproximar ou afastar a figura.

Em dimensão n

Custo e arredondamento

Num sistema de n equações e n incógnitas, a eliminação faz as mesmas etapas da bancada, uma para cada coluna da matriz n × n. Nesta parte aparece também o pivoteamento parcial: antes de cada etapa, entre a linha do pivô e as linhas abaixo dela, escolhe-se a que tem a entrada de maior valor absoluto na coluna do pivô, e essa linha troca de lugar com a linha do pivô. O experimento Zeros e custo elimina, com pivoteamento parcial, uma matriz sorteada e conta as operações como no livro-texto. Uma operação é uma divisão, que calcula um multiplicador, ou uma multiplicação seguida de subtração, que subtrai de uma entrada o produto do multiplicador pela entrada da linha do pivô na mesma coluna. O experimento Pivô minúsculo resolve um sistema com um pivô muito pequeno, sem troca de linhas e com pivoteamento parcial, e mostra o efeito do arredondamento. As contas são feitas em ponto flutuante de precisão dupla: cada número é guardado com cerca de 16 dígitos decimais significativos, e o resultado de cada operação é arredondado.

Zeros abaixo da diagonal

Número de operações

Para cada tamanho n de 2 a 40, a barra mostra quantas operações o programa contou ao eliminar uma matriz n × n sorteada, sem o lado direito. A curva vermelha é o gráfico de n3/3. A faixa em vermelho claro marca o n escolhido no painel Matriz n × n.

Experimento

Matriz n × n

As entradas são sorteadas entre −1 e 1, com duas casas decimais. A eliminação usa pivoteamento parcial, e o quadro Zeros abaixo da diagonal mostra a matriz depois de cada etapa.

Conceitos da aula

Eliminação de Gauss

Uma guia por conceito, cada um com a definição, um exemplo resolvido e o lugar da bancada em que ele aparece. A notação é a do livro-texto (seção 1.3).

Um sistema linear de n equações e n incógnitas tem uma matriz de coeficientes A, de tamanho n × n, um vetor de incógnitas x e um vetor de lados direitos b, e se escreve Ax = b. A eliminação de Gauss transforma esse sistema em outro, mais simples, com as mesmas soluções. As contas são feitas na matriz aumentada [A | b], formada pelas colunas de A seguidas da coluna b. A linha i dessa matriz, indicada por Li, contém os coeficientes da equação i e, depois da barra, o lado direito bi.

Operações elementares sobre linhas

Definição

As operações elementares sobre as linhas de uma matriz são as três abaixo. Nelas, Li e Lj são duas linhas diferentes da matriz, e a seta ← indica que a linha à esquerda dela é substituída pelo resultado à direita.

  1. trocar duas linhas: Li ↔ Lj;
  2. multiplicar uma linha por um escalar não nulo: Li ← λLi, com λ ≠ 0;
  3. substituir uma linha por ela menos um múltiplo de outra: Li ← Li − ℓLj, com j ≠ i e ℓ ∈ ℝ.

Dois sistemas lineares são equivalentes se têm o mesmo conjunto de soluções.

Teorema

Se a matriz [A′ | b′] é obtida de [A | b] por uma operação elementar sobre as linhas, então os sistemas Ax = b e A′x = b′ são equivalentes.

Por quê. Na operação 1, as equações são as mesmas, em outra ordem. Na operação 2, um vetor x satisfaz a equação i se, e somente se, satisfaz λ vezes ela, pois λ ≠ 0. Na operação 3, se x satisfaz as equações i e j, satisfaz também a nova equação i, que é a equação i menos ℓ vezes a equação j. Como a linha j não muda, a operação Li ← Li + ℓLj desfaz a operação 3. O mesmo argumento, aplicado a ela, mostra que toda solução do sistema novo é solução do antigo.

Um passo da eliminação

Exemplo

No sistema do livro-texto, nas incógnitas u, v e w,

2u + v + w = 5,

4u − 6v = −2,

−2u + 7v + 2w = 9,

a operação L2 ← L2 − 2L1 troca a segunda equação por

(4u − 6v) − 2(2u + v + w) = −2 − 2·5,

−8v − 2w = −12.

A solução (u, v, w)T = (1, 1, 2)T satisfaz as equações antigas e também a nova: −8·1 − 2·2 = −12.

Numa sequência de operações, cada uma é aplicada à matriz que a anterior produziu. Por isso, as mesmas operações em outra ordem podem dar outra matriz final. As soluções, porém, não mudam, porque cada operação preserva as soluções do sistema a que é aplicada.

Na bancada: com o Exemplo do livro-texto, no modo Ver os passos, avance os passos no quadro Passo a passo. Em cada operação que subtrai de uma linha um múltiplo de outra, esse quadro escreve a operação e a conta, linha por linha, e destaca na matriz a linha modificada. No modo Duas sequências, as mesmas duas operações são aplicadas em ordens diferentes, e o quadro Equações, multiplicadores e solução mostra as duas matrizes finais.

Os planos das equações

O quadro Os planos desenha, para cada equação do sistema, o conjunto dos pontos que a satisfazem. Os pontos do plano formam o plano euclidiano, que se escreve E2, e os pontos do espaço formam o espaço euclidiano E3. Com n coordenadas, os pontos formam En. Um ponto se escreve sem o T, como o ponto (1, 1, 2) de E3. Os vetores formam ℝn e se escrevem em coluna ou, na horizontal, com o T. O vetor (1, 1, 2)T de ℝ3 é o vetor posição do ponto (1, 1, 2), a seta que vai da origem até ele: os dois têm as mesmas coordenadas, mas são objetos diferentes. As soluções de um sistema são vetores; os planos do quadro são formados por pontos.

Definição

Considere uma equação linear nas incógnitas u, v e w em que algum coeficiente não é nulo. Os pontos (u, v, w) de E3 que satisfazem essa equação formam um plano de E3, o plano da equação. Num sistema de três equações nessas incógnitas, todas com algum coeficiente não nulo, a imagem das linhas é o desenho dos planos das três equações. Um vetor (u, v, w)T de ℝ3 é solução do sistema se, e somente se, o ponto (u, v, w) de E3, com as mesmas coordenadas, pertence aos três planos.

Com duas incógnitas, os pontos de E2 que satisfazem uma equação de coeficientes não ambos nulos formam uma reta de E2. Com n incógnitas, os pontos de En que satisfazem uma equação de coeficientes não todos nulos formam um hiperplano de En.

Exemplo

No sistema do livro-texto, as coordenadas do ponto (1, 1, 2) satisfazem as três equações:

2·1 + 1 + 2 = 5,

4·1 − 6·1 = −2,

−2·1 + 7·1 + 2·2 = 9.

Logo, o ponto (1, 1, 2) de E3 pertence aos três planos, e o vetor (1, 1, 2)T de ℝ3, vetor posição desse ponto, é solução do sistema. A eliminação mostra que o sistema não tem outra solução (guia Substituição regressiva); por isso, esse é o único ponto comum aos três planos.

A bancada mostra como um movimento contínuo a operação L2 ← L2 − 2L1 do sistema do livro-texto, que troca a segunda equação por −8v − 2w = −12. Para cada escalar μ entre 0 e 1, considere a equação da linha L2 − 2μL1: com μ = 0, ela é a equação 2 antiga; com μ = 1, é a nova. Todo ponto de E3 que satisfaz as equações 1 e 2 satisfaz também essa equação. Por isso, enquanto μ vai de 0 a 1, o plano dela contém sempre a reta em que os planos das equações 1 e 2 se cortam: o plano da linha 2 gira em torno dessa reta.

Na bancada: com o Exemplo do livro-texto, no modo Ver os passos, avance os passos no quadro Passo a passo e acompanhe o quadro Os planos. Em cada operação que subtrai de uma linha um múltiplo de outra, o plano da linha modificada gira em torno da reta preta, e o círculo vermelho, que marca o ponto (1, 1, 2), não se move. Num sistema 2 × 2, como Recursos de um servidor (2 × 2), o mesmo quadro se chama As retas e mostra as retas de E2 das duas equações. Num sistema 4 × 4, os hiperplanos de E4 não podem ser desenhados, e o quadro A matriz em cores mostra a matriz aumentada.

A eliminação zera as entradas abaixo da diagonal, uma coluna por vez. Em cada coluna, ela usa uma entrada não nula, o pivô, e subtrai múltiplos da linha dele das linhas de baixo.

Pivô e multiplicador

Definição

Seja A uma matriz n × n. A eliminação trata as colunas em ordem, e o tratamento da coluna j se chama etapa j. Suponha que as etapas anteriores já zeraram as entradas abaixo da diagonal nas colunas 1, …, j − 1. Na matriz atual, indique por ajj a entrada (j, j) e, para cada linha i > j, por aij a entrada (i, j). Se ajj ≠ 0, essa entrada é o pivô da coluna j, e a linha j é a linha do pivô. Para cada linha i > j, o multiplicador é a entrada a eliminar dividida pelo pivô:

ℓij = aij / ajj.

Definição

A eliminação de Gauss sem trocas de linhas começa pela matriz aumentada [A | b] do sistema Ax = b e faz as etapas j = 1, …, n − 1, nessa ordem. A etapa j tem dois passos:

  1. conferir que a entrada (j, j) é diferente de zero: ela é o pivô da coluna j;
  2. para cada linha i = j + 1, …, n, calcular ℓij e fazer Li ← Li − ℓijLj, isto é, subtrair da linha i o produto de ℓij pela linha do pivô.

Se uma entrada aij já é zero, então ℓij = 0, e a linha i não muda. Depois da etapa n − 1, todas as entradas abaixo da diagonal são nulas, e a entrada (n, n), se for diferente de zero, é o pivô da coluna n. Se, em alguma etapa, a entrada (j, j) é zero, a eliminação precisa de uma troca de linhas, assunto da guia Trocas e casos singulares.

A operação zera a entrada (i, j), porque a nova entrada é aij − ℓijajj = aij − aij = 0. As entradas da linha i nas colunas 1, …, j − 1 continuam nulas, porque as da linha j também são.

Quando o multiplicador é negativo, a operação soma um múltiplo da linha do pivô: com ℓ31 = −1, a operação L3 ← L3 − ℓ31L1 é L3 ← L3 + L1.

Os pivôs do exemplo do livro-texto

Exemplo

No sistema do livro-texto, o pivô da coluna 1 é a11 = 2, e os multiplicadores dessa coluna são

ℓ21 = 4/2 = 2,

ℓ31 = (−2)/2 = −1.

Depois dessas duas operações, as linhas 2 e 3 da matriz aumentada são (0, −8, −2 | −12) e (0, 8, 3 | 14). O pivô da coluna 2 é −8, e

ℓ32 = 8/(−8) = −1.

A operação L3 ← L3 + L2 dá (0, 0, 1 | 2). Os pivôs são 2, −8 e 1.

Na bancada: no modo Você faz, o quadro Passo a passo destaca o pivô e a entrada a eliminar e pede o multiplicador; o quadro Equações, multiplicadores e solução registra os multiplicadores e os pivôs já encontrados.

Quando a eliminação termina, a última equação envolve no máximo a última incógnita, a penúltima envolve no máximo as duas últimas, e assim por diante. Um sistema assim se resolve de baixo para cima.

Forma triangular

Definição

Uma matriz quadrada é triangular superior se todas as entradas abaixo da diagonal são nulas, isto é, se a entrada (i, j) é nula sempre que i > j.

Ao fim da eliminação, a parte da matriz aumentada à esquerda da barra é uma matriz triangular superior, que se escreve U. A coluna à direita da barra é o vetor obtido de b pelas mesmas operações, que se escreve c. Pelo teorema da guia Operações elementares, o sistema Ux = c é equivalente ao sistema original, Ax = b. Quando cada coluna tem um pivô, os pivôs são as entradas da diagonal de U.

Substituição regressiva

Teorema

Seja U uma matriz triangular superior n × n cujas entradas da diagonal são todas diferentes de zero, e seja c um vetor de ℝn. O sistema de matriz U e lado direito c, nas incógnitas x1, …, xn, se escreve Ux = c, com x = (x1, …, xn)T. Esse sistema tem exatamente uma solução, que se calcula de baixo para cima:

  1. a equação n tem uma só incógnita, xn, com coeficiente igual à entrada (n, n) de U; dividindo o lado direito dela por esse coeficiente, obtém-se xn;
  2. para i = n − 1, n − 2, …, 1, nessa ordem, substituem-se na equação i os valores de xi+1, …, xn, já calculados; sobra uma equação na incógnita xi, de coeficiente igual à entrada (i, i) de U, e a divisão por esse coeficiente dá xi.

O cálculo termina quando x1 é encontrado. Ele se chama substituição regressiva.

Por quê. Como as entradas de U abaixo da diagonal são nulas, a equação i só envolve as incógnitas xi, …, xn, e o coeficiente de xi nela é a entrada (i, i) de U, que não é zero. Uma equação com uma só incógnita e coeficiente não nulo tem exatamente uma solução: o lado direito dividido pelo coeficiente. No passo 1, a equação n tem essa forma. No passo 2, depois da substituição de xi+1, …, xn, a equação i também tem essa forma. Em cada passo há exatamente um valor possível; por isso, a solução existe e é única.

Exemplo

No sistema do livro-texto, nas incógnitas u, v e w, a eliminação chega a 2u + v + w = 5, −8v − 2w = −12 e w = 2. De baixo para cima, a última equação já dá o valor de w. Substituindo w = 2 na segunda equação,

−8v = −12 + 2·2 = −8,

v = 1.

Substituindo v = 1 e w = 2 na primeira equação,

2u = 5 − 1 − 2 = 2,

u = 1.

A solução é (u, v, w)T = (1, 1, 2)T.

Na bancada: nos sistemas com uma única solução, no modo Ver os passos, os últimos passos do quadro Passo a passo fazem a substituição regressiva, uma incógnita por vez. No modo Você faz, você escolhe qual incógnita já pode ser calculada e digita o valor dela.

Quando a entrada na posição do pivô é zero, ela não pode ser pivô, porque o multiplicador exigiria uma divisão por zero. Às vezes uma troca de linhas resolve o problema. Quando nenhuma troca resolve, a matriz é singular.

Troca de linhas e matriz singular

Definição

Na etapa da coluna j, a linha do pivô é a primeira linha que ainda não tem pivô; ela é a linha j quando todas as colunas anteriores tiveram pivô. Se a entrada da linha do pivô na coluna j é nula, troca-se a linha do pivô de lugar com uma linha de baixo cuja entrada na coluna j seja diferente de zero. Se nenhuma linha de baixo tem essa entrada diferente de zero, nenhuma troca resolve: a coluna j fica sem pivô, e a eliminação passa para a coluna seguinte, com a mesma linha do pivô. Uma matriz A, de tamanho n × n, é não singular se a eliminação, com as trocas necessárias, produz n pivôs; caso contrário, A é singular.

Teorema

Se A é não singular, o sistema Ax = b tem exatamente uma solução, para todo b ∈ ℝn. Se A é singular, Ax = b não tem solução ou tem infinitas soluções, conforme o vetor b.

Por quê. Ao fim da eliminação, o sistema é Ux = c, com a matriz triangular superior U e o vetor c da guia Substituição regressiva. Com n pivôs, a diagonal de U não tem zeros, e a substituição regressiva dá uma única solução. Com menos de n pivôs, as linhas de U que não receberam pivô são nulas, e entre elas está a última. Indique por ci a entrada i do vetor c. Se a linha i de U é nula, a equação i de Ux = c se reduz a 0 = ci. Se alguma dessas equações tem ci ≠ 0, nenhum vetor x a satisfaz, e o sistema não tem solução. Se todas têm ci = 0, as incógnitas das colunas sem pivô podem receber valores quaisquer, e a substituição regressiva determina as outras a partir desses valores: há infinitas soluções.

Dois exemplos

Exemplo

Uma troca resolve. No sistema x1 + x2 + x3 = 3, 2x1 + 2x2 + 5x3 = 9, 4x1 + 6x2 + 8x3 = 18, os multiplicadores ℓ21 = 2 e ℓ31 = 4 levam a linha 2 a (0, 0, 3 | 3) e a linha 3 a (0, 2, 4 | 6).

A entrada (2, 2) é nula, mas a linha 3 tem 2 na coluna 2. A troca L2 ↔ L3 dá o pivô 2, e a eliminação termina com os pivôs 1, 2 e 3: a matriz é não singular, e a solução é (1, 1, 1)T.

Exemplo

Nenhuma troca resolve. Para A = 111203314, os multiplicadores são ℓ21 = 2, ℓ31 = 3 e ℓ32 = 1, e a terceira linha de U fica nula: a coluna 3 não tem pivô, e A é singular. Tome b = (2, 5, b3)T e deixe a terceira entrada, b3, variar. As mesmas operações levam b a c = (2, 1, b3 − 7)T, e a última equação de Ux = c é

0 = b3 − 7.

Com b3 = 4, ela fica 0 = −3, que nenhum vetor satisfaz, e o sistema não tem solução. Com b3 = 7, ela fica 0 = 0, que todo vetor satisfaz, e, pelo teorema acima, o sistema tem infinitas soluções.

Na bancada: no painel Exemplos, escolha Pivô nulo: troca de linhas, Singular, sem solução ou Singular, infinitas soluções e acompanhe os passos. No modo Você faz, quando aparece um zero na posição do pivô, você escolhe a linha com que a linha do pivô é trocada.

Num sistema de n equações e n incógnitas, com n grande, a eliminação é feita por um computador. Surgem duas perguntas práticas: quantas operações ela exige e quanto o arredondamento das contas afeta a solução.

O número de operações

Definição

Como no livro-texto, conta-se como uma operação cada divisão, que calcula um multiplicador ℓij da guia Pivô e multiplicador, e cada multiplicação seguida de subtração, que troca uma entrada da linha i pela diferença entre ela e ℓij vezes a entrada da linha j na mesma coluna. As trocas de linhas não são contadas.

Teorema

Sem contar o lado direito, a eliminação de uma matriz n × n não singular usa no máximo (n3 − n)/3 operações. Ela usa exatamente esse número quando, em cada etapa, todas as entradas abaixo do pivô são diferentes de zero. Para n grande, (n3 − n)/3 é aproximadamente n3/3.

Por quê. A etapa j só modifica o bloco formado pelas linhas e pelas colunas j, …, n, que tem m = n − j + 1 linhas e m colunas. Nela, a eliminação zera as m − 1 entradas abaixo do pivô. Para cada uma, faz uma divisão e m − 1 multiplicações seguidas de subtração, nas outras m − 1 colunas do bloco: são m(m − 1) = m2 − m operações na etapa. Se uma entrada abaixo do pivô já é zero, a linha dela não muda, e as m operações dessa linha não são feitas; por isso, o total é um máximo. As etapas j = 1, …, n − 1 têm m = n, …, 2. Somando, e acrescentando a parcela de m = 1, que é nula,

(12 + ⋯ + n2) − (1 + ⋯ + n)

= n(n + 1)(2n + 1)/6 − n(n + 1)/2

= (n3 − n)/3.

O lado direito acrescenta (n − 1) + ⋯ + 1 = n(n − 1)/2 operações, e a substituição regressiva, 1 + 2 + ⋯ + n = n(n + 1)/2: juntos, n2 operações, muito menos que n3/3 quando n é grande.

Exemplo

Com n = 20 e com n = 40:

(203 − 20)/3 = 2.660,

(403 − 40)/3 = 21.320.

A razão entre os dois números é 21.320/2.660 ≈ 8,02, perto de 23 = 8: para n grande, dobrar n multiplica o número de operações por cerca de 8.

Na bancada: na parte Em dimensão n, escolha o experimento Zeros e custo, avance as etapas no quadro Zeros abaixo da diagonal e compare as contagens com a curva n3/3 no quadro Número de operações.

Arredondamento e pivoteamento parcial

Definição

O formato de ponto flutuante de precisão dupla é o usado pela maioria das linguagens de programação, inclusive pelo JavaScript, que faz as contas desta página. Nele, cada número é representado com 53 dígitos binários significativos, o que corresponde a cerca de 16 dígitos decimais. Um número real que não é representável nesse formato é arredondado para o número representável mais próximo, e o resultado de cada operação também é arredondado. O erro relativo de um arredondamento é a diferença entre o valor arredondado e o exato, dividida pelo exato, em valor absoluto. Exceto para números muito grandes ou muito próximos de zero, esse erro é no máximo 2−53 ≈ 1,1 × 10−16. O pivoteamento parcial é a regra que, antes de cada etapa, escolhe, entre a linha do pivô e as linhas abaixo dela, a que tem a entrada de maior valor absoluto na coluna do pivô e troca essa linha de lugar com a linha do pivô.

Com o pivoteamento parcial, todo multiplicador tem valor absoluto no máximo 1, porque o pivô tem o maior valor absoluto da coluna, entre a linha dele e as de baixo. Sem trocas, um pivô de valor absoluto muito menor que o das entradas abaixo dele produz multiplicadores de valor absoluto muito grande, e as contas com eles podem ampliar os erros de arredondamento, como no exemplo a seguir.

Exemplo

Tome um escalar pequeno ε = 10−k, com k inteiro positivo, a matriz A = ε111 e o vetor b = (1 + ε, 2)T. A solução exata de Ax = b é (1, 1)T. Indique por x1 e x2 as coordenadas da solução calculada e por b1 = 1 + ε a primeira entrada de b. Sem troca de linhas, o pivô da coluna 1 é ε, o multiplicador é ℓ21 = 1/ε, e a substituição regressiva calcula x2 e depois

x1 = (b1 − x2) / ε.

Na conta exata, b1 − x2 = ε. Em ponto flutuante, b1 e x2 são guardados com erros de arredondamento da ordem de 10−16, e a diferença b1 − x2 é calculada com um erro da mesma ordem. A divisão por ε = 10−k multiplica esse erro por 10k. Com k = 15, o programa obtém x1 ≈ 0,888, um erro de cerca de 0,11. Com pivoteamento parcial, as linhas são trocadas, ℓ21 = ε, os pivôs são 1 e 1 − ε, e não há divisão por ε. Para todo k de 1 a 20, o erro com pivoteamento parcial é nulo ou da ordem de 10−16.

Na bancada: na parte Em dimensão n, escolha o experimento Pivô minúsculo e diminua ε aumentando k no controle Pivô ε = 10−k. O quadro Dígitos corretos compara, para cada k de 1 a 20, a solução sem troca de linhas com a solução com pivoteamento parcial.

Para pensar

Por que o multiplicador tem o pivô no denominador?

Porque ele é o escalar ℓ que zera a entrada a eliminar. Indique por ajj a entrada da linha j na posição do pivô e por aij a entrada da linha i, abaixo dela, na mesma coluna. A operação Li ← Li − ℓLj, que subtrai da linha i o produto de ℓ pela linha j, troca aij por aij − ℓajj. Se ajj ≠ 0, essa diferença é nula se, e somente se, ℓ = aij / ajj. Se ajj = 0 e aij ≠ 0, nenhum ℓ serve, pois aij − ℓ·0 = aij ≠ 0: é preciso trocar linhas.

Multiplicar uma linha por 2 antes de eliminar muda a solução?

Não. Multiplicar uma equação por um escalar λ ≠ 0 é uma operação elementar: a nova equação é satisfeita exatamente pelos mesmos vetores que a antiga. Por isso, as soluções do sistema não mudam. Num sistema de três incógnitas, o mesmo vale para os pontos: se algum coeficiente da equação não é nulo, o plano de E3 formado pelos pontos que a satisfazem não muda. O que pode mudar são os números da eliminação: o pivô dessa linha, se ela for a linha de um pivô, e os multiplicadores calculados com ela. No sistema do livro-texto, com a linha 1 multiplicada por 2, o primeiro pivô passa a ser 4, e o multiplicador ℓ21 passa a ser 4/4 = 1. A solução continua (1, 1, 2)T.

Se duas pessoas fazem a eliminação e chegam a matrizes triangulares diferentes, alguém errou?

Não necessariamente. Sequências diferentes de operações elementares, por exemplo com trocas de linhas diferentes ou com uma linha multiplicada por um escalar, podem levar a matrizes triangulares diferentes. Os sistemas correspondentes são todos equivalentes ao original e, portanto, têm as mesmas soluções. Mas, se nenhuma troca é necessária e as duas pessoas seguem a mesma regra, zerando, coluna por coluna, as entradas abaixo de cada pivô com múltiplos da linha do pivô, os multiplicadores e a matriz triangular final são os mesmos.