Centro de Informática · UFPE Álgebra Vetorial e LinearCIN0138 · 2026.2
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Aula 4 · 01/09 (ter) · Módulo 1 · laboratório

Propriedades elementares das matrizes I

Nesta aula você estuda o produto de matrizes e as suas propriedades. Se A é uma matriz m × n e B é uma matriz n × p, o produto AB é a matriz m × p cuja entrada na linha i e na coluna j é a soma dos produtos das entradas da linha i de A pelas entradas correspondentes da coluna j de B. Na bancada, você calcula AB de quatro maneiras, multiplica os pontos de uma figura do plano por AB e por BA, que podem ser diferentes, e compara quantas multiplicações de escalares exigem as duas maneiras de pôr os parênteses num produto de três matrizes.

O produto AB

No esquema deste quadro, o primeiro fator do produto fica à esquerda, o segundo fica em cima e o produto fica no cruzamento. A entrada do produto na linha i e na coluna j, chamada de entrada (i, j), fica na altura da linha i do primeiro fator e abaixo da coluna j do segundo. Abaixo do esquema, quatro leituras calculam o produto de quatro maneiras: entrada por entrada, uma coluna de cada vez, uma linha de cada vez e como soma de produtos de uma coluna por uma linha. Nas leituras, a entrada (i, j) de uma matriz se escreve com a letra minúscula do nome dela e os dois índices: em A, é aij. A coluna j de A se escreve aj, e a entrada (i, j) do produto AB se escreve (AB)ij. Passe o mouse sobre uma linha da matriz da esquerda para escolher i, sobre uma coluna da matriz de cima para escolher j ou sobre uma entrada do produto para escolher os dois. Um clique fixa a escolha. Com a leitura 4 destacada, passar o mouse sobre uma coluna da matriz da esquerda, ou sobre uma linha da matriz de cima, escolhe a parcela. Clique numa das leituras para mantê-la destacada.

Entrada: linha vezes coluna

Colunas: combinação linear das colunas

Linhas: combinação linear das linhas

Soma de colunas vezes linhas

Multiplicação por B e depois por A

Multiplicação por A e depois por B

Comparação entre AB e BA

Exemplos

As duas matrizes

As entradas podem ser inteiros, frações como 3/2 ou decimais como 0,5. Os botões + e − mudam o número de linhas e de colunas de cada matriz, de 1 a 4. Quando as duas matrizes são 2 × 2, as colunas delas também podem ser mudadas nos dois quadros do plano: em cada quadro, as pontas das colunas da matriz que multiplica primeiro podem ser arrastadas.

Custo de um produto triplo

Sejam D uma matriz m × p, W uma matriz p × q e H uma matriz q × r. Os produtos (DW)H e D(WH) são a mesma matriz m × r, mas não exigem o mesmo número de multiplicações de escalares. Por exemplo, DW tem mq entradas, e cada uma exige p multiplicações: são mpq ao todo. Esse produto triplo aparece numa rede neural de duas camadas, sem função de ativação e sem termos de viés. Nela, as m linhas de D são os exemplos de um lote, cada um com p atributos. As matrizes W e H são os pesos das duas camadas, e a camada oculta tem q neurônios. A saída da rede é DWH, com r números para cada exemplo.

O que mostrar

Pelo teclado: clique num dos quadros do plano e use as teclas de seta para mover a ponta escolhida; a barra de espaço passa para a outra ponta. No quadro O produto AB, com o foco numa entrada do produto, as teclas de seta levam à entrada vizinha.

Em dimensão n

Passeios num grafo e cadeias de produtos

Um grafo dirigido é formado por vértices, numerados de 1 a n, e por arestas. Cada aresta é um par ordenado de vértices (i, j), desenhado como uma seta de i para j e escrito i → j. Numa rede de computadores, os vértices podem ser roteadores, e a aresta i → j indica que o roteador i envia pacotes diretamente ao roteador j. A matriz de adjacência do grafo, que se escreve N, é a matriz n × n cuja entrada (i, j), escrita Nij, vale 1 se existe a aresta i → j e 0 caso contrário. Para um inteiro k ≥ 1, um passeio de k passos de i a j é uma sequência de k arestas em que a primeira sai de i, cada uma das outras sai do vértice em que a anterior chega, e a última chega a j. Os vértices de um passeio podem se repetir. A potência Nk é o produto de k fatores iguais a N. A entrada (i, j) de N2 = NN é a linha i de N vezes a coluna j de N. Para cada vértice u, a parcela NiuNuj dessa soma vale 1 quando existem as arestas i → u e u → j, isto é, quando i → u → j é um passeio de 2 passos, e vale 0 caso contrário. Logo (N2)ij, a soma dessas parcelas para u = 1, …, n, é o número de passeios de 2 passos de i a j. Em geral, para todo k ≥ 1, (Nk)ij é o número de passeios de k passos de i a j; a demonstração, por indução em k, está na guia Passeios num grafo, em Conceitos da aula. No fim da seção, o quadro Uma cadeia de produtos mostra que, num produto de várias matrizes, a posição dos parênteses não muda o resultado, mas pode mudar o número de multiplicações de escalares.

O grafo

A matriz Nk

A matriz de adjacência N do grafo foi apresentada no início desta seção, e o número de passos k se escolhe no controle Passos, k, do painel Passeios. A célula da linha i e da coluna j mostra o número de passeios de k passos de i a j, que é a entrada (Nk)ij. Quanto maior esse número, mais escuro o vermelho da célula; uma célula com 0 fica quase branca. Clique numa célula para escolher a origem i e o destino j.

Passeios de k passos

Uma cadeia de produtos

Uma cadeia de produtos é um produto de L matrizes, A1A2⋯AL, em que o número de colunas de cada matriz é igual ao número de linhas da seguinte. O número L se escolhe no controle Matrizes na cadeia, neste quadro. Aqui, cada matriz aparece como um retângulo: a altura é proporcional ao número de linhas, e a largura, ao número de colunas. Cada botão da linha Multiplicar duas matrizes vizinhas troca duas matrizes vizinhas pelo produto delas e mostra quantas multiplicações de escalares esse produto exige. O produto de A2, A3 e A4, por exemplo, aparece com o nome A2…4.

Tipo de grafo

Passeios

Clique num vértice do quadro O grafo para escolher a origem e, em seguida, num vértice para escolher o destino.

Conceitos da aula

O produto de matrizes e as suas propriedades

Uma guia por conceito, cada um com a definição, um exemplo resolvido e o lugar da bancada em que ele aparece. A notação é a do livro-texto (seção 1.4).

O produto de duas matrizes só está definido quando o número de colunas da primeira é igual ao número de linhas da segunda. Nesse caso, cada entrada do produto se obtém multiplicando as entradas de uma linha da primeira matriz pelas entradas correspondentes de uma coluna da segunda e somando os resultados.

Produto de matrizes

Definição

Sejam A uma matriz m × n e B uma matriz n × p. A entrada de A na linha i e na coluna k se escreve aik, e a entrada de B na linha k e na coluna j se escreve bkj. O produto AB é a matriz m × p cuja entrada na linha i e na coluna j, que se escreve (AB)ij, é

(AB)ij = ai1b1j + ai2b2j + ⋯ + ainbnj,

para i = 1, …, m e j = 1, …, p. Se o número de colunas de A é diferente do número de linhas de B, o produto AB não está definido.

Em palavras: para obter a entrada (i, j), multiplique cada entrada da linha i de A pela entrada correspondente da coluna j de B e some os n produtos. O produto tem o número de linhas de A e o número de colunas de B:

(m × n)(n × p) = m × p.

Cada entrada exige n multiplicações de escalares, e o produto tem mp entradas. Por isso, calcular AB pela definição exige mnp multiplicações. O produto de A por um vetor x ∈ ℝn, estudado nas Aulas 1 e 2, é o caso p = 1: como os vetores são colunas, x é uma matriz n × 1, e Ax é uma matriz m × 1, isto é, um vetor de ℝm.

Um exemplo e um produto que não está definido

Exemplo

Para A = 120−131, de tamanho 2 × 3, e B = 210−142, de tamanho 3 × 2, o produto AB é 2 × 2:

(AB)11 = 1·2 + 2·0 + 0·4 = 2,

(AB)12 = 1·1 + 2·(−1) + 0·2 = −1,

(AB)21 = (−1)·2 + 3·0 + 1·4 = 2,

(AB)22 = (−1)·1 + 3·(−1) + 1·2 = −2.

Logo AB = 2−12−2. O produto BA também está definido, mas é 3 × 3. Já o produto de uma matriz 2 × 3 por uma matriz 2 × 2 não está definido, pois 3 ≠ 2.

Na bancada: no painel Exemplos, escolha Consolidação de recursos. As duas matrizes desse exemplo se chamam Q e V, e o primeiro quadro passa a se chamar O produto QV. Passe o mouse sobre as entradas do produto: a linha de Q e a coluna de V usadas ficam destacadas, e a leitura 1 mostra a conta. Para calcular as entradas você mesmo, marque Esconder o produto, no painel As duas matrizes. O exemplo Tamanhos incompatíveis mostra um produto que não está definido.

O produto também pode ser calculado uma coluna ou uma linha de cada vez. Essas duas leituras ligam o produto de matrizes às combinações lineares das Aulas 1 e 2.

O produto por colunas e por linhas

Teorema

Sejam A uma matriz m × n e B uma matriz n × p, com as entradas aik e bkj escritas como na guia Produto de matrizes. As colunas de A se escrevem a1, …, an, e as de B, b1, …, bp. Então:

  1. a coluna j de AB é Abj = b1ja1 + ⋯ + bnjan, a combinação linear das colunas de A cujos coeficientes são as entradas da coluna j de B. Assim, AB é a matriz cujas colunas são Ab1, …, Abp, o que se escreve AB = [Ab1 ⋯ Abp];
  2. a linha i de AB é (linha i de A)B = ai1(linha 1 de B) + ⋯ + ain(linha n de B), a combinação linear das linhas de B cujos coeficientes são as entradas da linha i de A.

Por quê. A coordenada i da coluna ak é aik. Logo a coordenada i do vetor b1ja1 + ⋯ + bnjan é ai1b1j + ⋯ + ainbnj = (AB)ij. Do mesmo modo, a entrada j da linha ai1(linha 1 de B) + ⋯ + ain(linha n de B) é a mesma soma. O item 1 tem duas consequências. Se a coluna j de B é nula, a coluna j de AB também é nula. Além disso, toda coluna de AB é uma combinação linear das colunas de A.

Um exemplo e a troca de linhas

Exemplo

Para A = 123−1 e B = 2013, a coluna 1 de B é b1 = (2, 1)T, e a linha 2 de A é (3, −1). A coluna 1 de AB é a combinação linear das colunas de A com os coeficientes 2 e 1. A linha 2 de AB é a combinação linear das linhas de B com os coeficientes 3 e −1:

Ab1 = 2(1, 3)T + 1(2, −1)T = (4, 5)T,

3(2, 0) + (−1)(1, 3) = (5, −3).

De fato, AB = 465−3: a coluna 1 é (4, 5)T, e a linha 2 é (5, −3).

Seja P = 0110 a matriz que se obtém da matriz identidade 2 × 2, que tem 1 na diagonal principal e 0 nas demais posições, trocando as suas duas linhas. Para toda matriz M com duas linhas, o item 2 do teorema dá a linha 1 de PM: ela é 0·(linha 1 de M) + 1·(linha 2 de M), que é a linha 2 de M. Do mesmo modo, a linha 2 de PM é a linha 1 de M, e PM é M com as duas linhas trocadas. Pelo item 1, para toda matriz M com duas colunas, MP é M com as duas colunas trocadas. Matrizes como P, as matrizes de permutação, são estudadas na Aula 5.

Na bancada: no quadro O produto AB, clique nas leituras 2 e 3. Na leitura 2, a coluna escolhida do produto aparece como combinação linear das colunas do primeiro fator, cada uma pintada numa cor. Na leitura 3, a linha escolhida aparece como combinação linear das linhas do segundo fator. O exemplo Troca de linhas e de colunas mostra PM e, com o botão MP no alto do quadro, MP. As missões 2 e 3 do roteiro pedem que você monte uma coluna e uma linha de AB.

Uma linha vezes uma coluna dá uma matriz 1 × 1, que identificamos com um escalar. Na ordem contrária, uma coluna m × 1 vezes uma linha 1 × p dá uma matriz m × p, e o produto de duas matrizes é uma soma de matrizes desse tipo.

O produto como soma de colunas vezes linhas

Teorema

Sejam A uma matriz m × n, com colunas a1, …, an, e B uma matriz n × p, com as entradas escritas como na guia Produto de matrizes. Para k = 1, …, n, o produto da coluna ak, de tamanho m × 1, pela linha k de B, de tamanho 1 × p, se chama aqui parcela k. Ela é uma matriz m × p, e a sua entrada (i, j) é aikbkj, o produto da entrada (i, k) de A pela entrada (k, j) de B. Então AB é a soma das n parcelas:

AB = a1(linha 1 de B) + ⋯

+ an(linha n de B).

Por quê. Somando as entradas (i, j) das n parcelas, obtemos ai1b1j + ⋯ + ainbnj, que é (AB)ij.

As parcelas têm uma forma especial. Na parcela k, a linha i é aik vezes a linha k de B, e a coluna j é bkj vezes a coluna ak. Assim, todas as linhas da parcela são múltiplas de uma mesma linha, e todas as colunas são múltiplas de uma mesma coluna.

Um exemplo com as mesmas matrizes

Exemplo

Com A = 123−1 e B = 2013, da guia Colunas e linhas, as duas parcelas são

1320 = 2060,

2−113 = 26−1−3,

e a soma delas é 465−3 = AB.

Na bancada: na leitura 4 do quadro O produto AB, o valor do controle Parcelas somadas é o número de parcelas que entram na soma. A leitura mostra a última parcela somada e, abaixo dela, a soma parcial. No exemplo Consolidação de recursos, os recursos 1, 2 e 3 são núcleos, memória e disco, e a parcela k contém o gasto com o recurso k de cada serviço em cada provedor. A missão 4 do roteiro pede que você acompanhe essa soma.

O produto de matrizes é associativo e distributivo em relação à soma, e multiplicar uma matriz pela matriz identidade de tamanho compatível não a altera. Duas propriedades do produto de números reais, porém, não valem para matrizes: a comutatividade, pois AB e BA podem ser diferentes, e a lei do anulamento do produto, como mostra a primeira pergunta de Para pensar.

Associatividade, distributividade e identidade

Definição

Para cada inteiro n ≥ 1, a matriz identidade In é a matriz n × n com 1 nas posições (1, 1), (2, 2), …, (n, n), que formam a diagonal principal, e 0 nas demais posições. Quando o tamanho está claro, ela se escreve só I.

Teorema

Para quaisquer matrizes A, B e C cujos tamanhos permitam as operações indicadas e para todo escalar λ ∈ ℝ:

  1. (AB)C = A(BC) (associatividade);
  2. A(B + C) = AB + AC e (A + B)C = AC + BC (distributividade à esquerda e à direita);
  3. λ(AB) = (λA)B = A(λB);
  4. se A é m × n, então ImA = A = AIn.

Por quê. Sejam A uma matriz m × n, B uma matriz n × p e C uma matriz p × q, com entradas aik, bkl e clj. A entrada (i, j) de (AB)C é a soma dos produtos (AB)ilclj para l = 1, …, p, e cada (AB)il é a soma dos produtos aikbkl para k = 1, …, n. Logo essa entrada é a soma dos produtos aikbklclj para todos os valores de k e de l. A mesma conta, feita para A(BC), dá a mesma soma, com as parcelas somadas em outra ordem. As outras propriedades se verificam da mesma forma, entrada por entrada.

Pela associatividade, um produto de várias matrizes pode ser escrito sem parênteses. Em particular, o produto de fatores iguais a uma matriz quadrada A é uma potência de A: A2 = AA, A3 = AAA, e assim por diante. Um caso particular da associatividade, em que C é um vetor x, é

A(Bx) = (AB)x,

válido para toda matriz A de tamanho m × n, toda matriz B de tamanho n × p e todo vetor x ∈ ℝp: multiplicar x por B e depois o resultado por A dá o mesmo que multiplicar x pela matriz AB.

A ordem dos fatores

Se A é m × n e B é n × m, os dois produtos AB e BA estão definidos, mas AB é m × m e BA é n × n. Com m ≠ n, eles têm tamanhos diferentes. Mesmo quando A e B são quadradas de mesmo tamanho, AB e BA podem ser diferentes. Quando AB = BA, dizemos que A e B comutam.

Exemplo

Para A = 0−110 e B = 1101,

AB = 0−111,

BA = 1−110.

Com x = (1, 1)T, temos Bx = (2, 1)T e A(Bx) = (−1, 2)T = (AB)x, enquanto Ax = (−1, 1)T e B(Ax) = (0, 1)T = (BA)x.

Multiplicar por A leva cada vetor do plano no vetor obtido dele pela rotação de 90° no sentido anti-horário. Multiplicar por B soma a segunda coordenada à primeira e mantém a segunda, levando (x1, x2)T em (x1 + x2, x2)T; essa operação se chama cisalhamento. As duas operações do plano são estudadas na Aula 10. Já A e 2I + A comutam, pois A(2I + A) = 2A + A2 = (2I + A)A.

Na bancada: a bancada desenha uma figura F com a forma da letra F. Cada ponto de F é tratado como um vetor x ∈ ℝ2 e multiplicado pelas duas matrizes 2 × 2 do painel As duas matrizes, A e B. O quadro Multiplicação por B e depois por A mostra a figura ABF, formada pelos vetores A(Bx) = (AB)x com x em F. O quadro Multiplicação por A e depois por B mostra a figura BAF, formada pelos vetores B(Ax) = (BA)x. O quadro Comparação entre AB e BA mostra os dois produtos e a diferença AB − BA. Compare os exemplos Rotação e cisalhamento, Matrizes que comutam e Matriz identidade.

Pela associatividade, o produto de três ou mais matrizes não depende da posição dos parênteses. O número de multiplicações de escalares necessárias para calculá-lo, porém, depende.

O custo de um produto triplo

Proposição

Sejam D uma matriz m × p, W uma matriz p × q e H uma matriz q × r. Calculados pela definição,

  • (DW)H exige mpq + mqr multiplicações de escalares;
  • D(WH) exige pqr + mpr multiplicações de escalares.

Logo (DW)H exige menos multiplicações que D(WH) se, e somente se, 1/r + 1/p < 1/m + 1/q.

Por quê. O produto DW tem mq entradas, e cada uma é a soma de p produtos: são mpq multiplicações. Como DW é m × q, multiplicá-la por H exige mqr multiplicações. Do mesmo modo, WH exige pqr multiplicações e é p × r, e multiplicar D por WH exige mpr. Dividindo os dois lados da desigualdade mpq + mqr < pqr + mpr por mpqr, que é positivo, obtemos o critério.

Exemplo

Com m = 10, p = 100, q = 5 e r = 50:

(DW)H: 10·100·5 + 10·5·50 = 7.500,

D(WH): 100·5·50 + 10·100·50 = 75.000.

As duas ordens dão a mesma matriz 10 × 50, mas o custo de D(WH) é 10 vezes o custo de (DW)H.

Na bancada: no painel Custo de um produto triplo, mude m, p, q e r e compare as barras das duas ordens. A missão 7 do roteiro pede que você mude esses tamanhos até que a ordem mais cara passe a ser a mais barata.

Cadeias de produtos

Uma cadeia de produtos é um produto de L matrizes, A1A2⋯AL, em que o número de colunas de cada matriz é igual ao número de linhas da seguinte. O número de linhas de A1 se escreve d0, e o número de colunas de At se escreve dt. Assim, At tem tamanho dt−1 × dt, para t = 1, …, L. Todas as maneiras de pôr os parênteses dão o mesmo resultado, uma matriz d0 × dL. O número dessas maneiras cresce depressa com L: são 2 para L = 3, 5 para L = 4, 14 para L = 5, 42 para L = 6 e 132 para L = 7.

A ordem mais barata pode ser encontrada por programação dinâmica. Um trecho da cadeia é um produto de matrizes vizinhas dela, como A2A3A4. O algoritmo calcula o menor custo de cada trecho em quatro passos:

  1. um trecho formado por uma só matriz tem custo 0;
  2. os trechos de 2 matrizes são examinados primeiro, depois os de 3, e assim por diante, até a cadeia inteira;
  3. para examinar um trecho, o algoritmo considera cada maneira de dividi-lo numa parte da esquerda e numa parte da direita e soma três números: o menor custo da parte da esquerda, o menor custo da parte da direita e o custo de multiplicar os resultados das duas partes. O menor custo do trecho é a menor dessas somas;
  4. o menor custo da cadeia inteira é o do último trecho examinado, e as divisões escolhidas em cada trecho dão a posição dos parênteses.

O custo de multiplicar os resultados das duas partes é o número de linhas da parte da esquerda vezes o número de colunas dela vezes o número de colunas da parte da direita. No passo 3, os menores custos das partes já são conhecidos, porque as partes são trechos mais curtos.

Exemplo

Para A1 de tamanho 2 × 10, A2 de tamanho 10 × 3 e A3 de tamanho 3 × 20:

(A1A2)A3: 2·10·3 + 2·3·20 = 180,

A1(A2A3): 10·3·20 + 2·10·20 = 1.000.

A primeira ordem exige menos de um quinto das multiplicações da segunda.

Na bancada: na seção Em dimensão n, no quadro Uma cadeia de produtos, você escolhe a ordem dos produtos numa cadeia de 3 a 7 matrizes, com os botões da linha Multiplicar duas matrizes vizinhas. Abaixo deles, o custo da sua ordem aparece ao lado dos custos da melhor ordem, da pior e das ordens da esquerda para a direita e da direita para a esquerda. O botão Mostrar a melhor ordem faz os produtos na ordem encontrada por programação dinâmica.

As potências de uma matriz quadrada, definidas na guia Propriedades do produto, aparecem quando contamos os passeios num grafo dirigido. Cada potência se calcula com a leitura linha vezes coluna do produto.

Grafo dirigido e matriz de adjacência

Definição

Um grafo dirigido é formado por um conjunto finito de vértices, que numeramos 1, 2, …, n, e por um conjunto de arestas. Cada aresta é um par ordenado de vértices (i, j), que representamos por uma seta de i para j e escrevemos i → j. A matriz de adjacência do grafo, que se escreve N, é a matriz n × n cuja entrada (i, j), escrita Nij, vale 1 se i → j é uma aresta e 0 caso contrário. Para k ≥ 1, um passeio de k passos (ou de comprimento k) de i a j é uma sequência de vértices w0, w1, …, wk, com w0 = i e wk = j, tal que wt−1 → wt é uma aresta para t = 1, …, k. Os vértices de um passeio podem se repetir.

Teorema

Para todo k ≥ 1 e quaisquer vértices i e j, a entrada (Nk)ij da potência Nk é o número de passeios de k passos de i a j.

Por quê. Por indução em k. Para k = 1, um passeio de um passo de i a j é a própria aresta i → j: há um passeio se Nij = 1 e nenhum se Nij = 0. Seja agora k ≥ 2, e suponha o resultado válido para k − 1. Para cada vértice u, os passeios de k passos de i a j cujo penúltimo vértice é u são formados por um passeio de k − 1 passos de i a u seguido da aresta u → j. Pela hipótese de indução, há (Nk−1)iu passeios de k − 1 passos de i a u. Se Nuj = 1, cada um deles dá um passeio de k passos de i a j; se Nuj = 0, nenhum dá. Logo há (Nk−1)iuNuj passeios com penúltimo vértice u. Somando para u = 1, …, n, o número de passeios de k passos de i a j é

(Nk−1)i1N1j + ⋯ + (Nk−1)inNnj,

a linha i de Nk−1 vezes a coluna j de N, que é a entrada (i, j) de Nk−1N = Nk.

Um exemplo com três vértices

Exemplo

No grafo com as arestas 1 → 2, 1 → 3, 2 → 3 e 3 → 1,

N = 011001100,

N2 = 101100011.

A entrada (1, 3) de N2 é a linha 1 de N vezes a coluna 3 de N:

(N2)13 = 0·1 + 1·1 + 1·0 = 1,

e o único passeio de 2 passos de 1 a 3 é 1 → 2 → 3. Já (N2)12 = 0: não há passeio de 2 passos de 1 a 2.

Na bancada: na seção Em dimensão n, escolha o grafo no painel Tipo de grafo e o número de passos no controle Passos, k, do painel Passeios. O quadro A matriz Nk mostra todas as entradas de Nk. O quadro Passeios de k passos lista até oito passeios do par escolhido e, para k ≥ 2, mostra a conta da linha i de Nk−1 vezes a coluna j de N.

Para pensar

Se AB é a matriz nula, então A ou B é a matriz nula?

Não. Para A = 1000 e B = 0010, nenhuma das duas é a matriz nula, mas AB é a matriz nula. Pela leitura por colunas, da guia Colunas e linhas, as colunas de AB são A(0, 1)T = (0, 0)T e A(0, 0)T = (0, 0)T. Na ordem contrária, BA = 0010, que não é nula. Assim, entre matrizes, não vale a lei do anulamento do produto, que vale para escalares: se λμ = 0, então λ = 0 ou μ = 0.

Vale (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 para matrizes quadradas A e B de mesmo tamanho?

Vale se, e somente se, A e B comutam. Pela distributividade, (A + B)2 = (A + B)(A + B) = A2 + AB + BA + B2. Essa matriz é igual a A2 + 2AB + B2 se, e somente se, BA = AB. Com as matrizes do exemplo Rotação e cisalhamento, A = 0−110 e B = 1101, a diferença entre os dois lados é BA − AB = 100−1, que não é a matriz nula.

Para calcular A10x, com A de tamanho n × n e x ∈ ℝn, convém calcular A10 primeiro?

Não, se n ≥ 3. Pela associatividade, A10x = A(A(⋯(Ax)⋯)), com dez fatores iguais a A. Assim, bastam dez produtos de uma matriz n × n por um vetor, cada um com n2 multiplicações, num total de 10n2. Calcular A10 com nove produtos sucessivos exige 9n3 multiplicações, mais n2 para multiplicar o resultado por x. Um caminho mais curto usa só quatro produtos: A2 = AA, A4 = A2A2, A8 = A4A4 e A10 = A8A2. Mesmo assim, são 4n3 + n2 multiplicações, mais que 10n2 para todo n ≥ 3. Para n = 1000, são 107 multiplicações contra mais de 4 · 109. Para n = 1 e n = 2, o caminho de quatro produtos é mais barato: 5 contra 10 e 36 contra 40 multiplicações.