Centro de Informática · UFPE Álgebra Vetorial e LinearCIN0138 · 2026.2
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Aula 2 · 18/08 (ter) · Módulo 1 · laboratório

Geometria das equações lineares II

Nesta aula você estuda sistemas de três equações lineares nas incógnitas x, y e z pelas duas imagens da Aula 1. Na imagem das linhas, que usa o espaço euclidiano E3, formado pelos pontos do espaço, os pontos que satisfazem uma equação de coeficientes não todos nulos formam um plano de E3, e as soluções do sistema correspondem aos pontos comuns aos três planos. A imagem das colunas usa vetores de ℝ3: as colunas a1, a2 e a3 da matriz dos coeficientes A e o vetor b dos termos independentes. Resolver o sistema é encontrar escalares x, y e z tais que xa1 + ya2 + za3 = b. Na bancada, você testa um candidato a solução nas duas imagens ao mesmo tempo e examina os casos singulares, em que o sistema não tem exatamente uma solução; na parte em dimensão n, acompanha o conjunto solução enquanto as equações são acrescentadas uma a uma.

Imagem das linhas

O quadro mostra uma parte do espaço euclidiano E3, formado pelos pontos do espaço. Os pontos que satisfazem uma equação do sistema formam um plano de E3, desde que os três coeficientes da equação não sejam todos nulos; o plano i é o da equação i. As retas em que os planos se cortam dois a dois aparecem tracejadas, com as cores dos dois planos, e a reta comum aos planos i e j é marcada i ∩ j. O ponto preto (x, y, z), que pode ser arrastado, representa o candidato a solução (x, y, z)T: as suas coordenadas são os valores de x, y e z que estão sendo testados. Um plano fica mais destacado quando o ponto pertence a ele, e uma linha tracejada liga o ponto ao plano z = 0, para mostrar a profundidade. Com a opção Marcar os pontos das soluções no quadro Imagem das linhas, do painel O que mostrar, um círculo vermelho marca o ponto que corresponde à solução, quando ela é única, e uma reta vermelha marca os pontos que correspondem às soluções, quando eles formam uma reta. Arraste o fundo da figura para girá-la.

Imagem das colunas

O quadro desenha vetores de ℝ3, cada um como uma seta que parte da origem e termina na sua ponta, o ponto de E3 com as mesmas coordenadas. Os vetores são as colunas a1, a2 e a3 da matriz dos coeficientes A, em setas coloridas, e o vetor b dos termos independentes, em vermelho. Com os valores de x, y e z do candidato a solução, as setas tracejadas xa1, ya2 e za3, uma depois da outra, formam um caminho que parte da origem e termina na ponta da combinação linear xa1 + ya2 + za3. Quando ela é igual a b, um círculo verde aparece na ponta de b. Arraste as pontas de a1, a2, a3 e b ou o fim do caminho. Quando as três colunas estão num mesmo plano que passa pela origem, o fim do caminho não pode ser arrastado. Se, além disso, duas das colunas não são múltiplas uma da outra, esse plano é único, se chama plano das colunas e aparece em cinza. Se as três colunas são múltiplas de uma mesma coluna não nula, aparece em cinza a reta que passa pela origem e contém as três.

O sistema na forma matricial

Exemplos

Sistema [A | b]

Este painel mostra a matriz formada pela matriz dos coeficientes A e, depois de uma barra, pelo vetor b dos termos independentes. Essa matriz se escreve [A | b]. Cada linha é uma equação: na linha i, as três primeiras entradas são os coeficientes de x, de y e de z, e a última é o termo independente bi. As entradas podem ser inteiros, frações como 3/2 ou decimais como 0,5. Arrastar as pontas das colunas a1, a2 e a3 de A, ou a de b, no quadro Imagem das colunas, também muda as entradas.

Candidato a solução

Os controles dão valores às incógnitas x, y e z. O candidato a solução é o vetor (x, y, z)T de ℝ3, e ele é uma solução quando satisfaz as três equações. No quadro Imagem das linhas, o candidato aparece como o ponto (x, y, z) do espaço euclidiano E3, que tem as mesmas coordenadas. No quadro Imagem das colunas, os valores de x, y e z são os coeficientes da combinação linear xa1 + ya2 + za3 das colunas de A.

Vista das figuras

O botão Vista sugerida procura uma posição da câmera em que nenhum plano apareça de perfil. Com De cima, você olha na direção do eixo z, e com De frente, na direção do eixo y. Com Na direção das retas, você olha na direção de uma das retas em que os planos se cortam; quando essas retas são paralelas, a direção é a mesma para todas.

Pelo teclado: clique numa figura e use as setas para girá-la; as teclas + e − aproximam ou afastam a vista. A barra de espaço escolhe um dos pontos que podem ser arrastados, e então as setas o movem no plano da tela. A tecla Esc desfaz a escolha, e as setas voltam a girar a figura.

O que mostrar

Em dimensão n

Sistemas com n incógnitas

A imagem das linhas e a imagem das colunas também valem para sistemas com n incógnitas x1, …, xn. Uma equação linear nessas incógnitas, com coeficientes α1, …, αn e lado direito δ, se escreve α1x1 + ⋯ + αnxn = δ. A imagem das linhas usa o espaço euclidiano En, formado pelos pontos com n coordenadas. Quando os coeficientes não são todos nulos, os pontos (x1, …, xn) de En que satisfazem a equação formam um hiperplano de En, que é uma reta quando n = 2 e um plano quando n = 3, e as soluções do sistema correspondem aos pontos comuns aos hiperplanos das suas equações. A imagem das colunas usa vetores: com m equações, a matriz dos coeficientes A tem tamanho m × n, as suas colunas a1, …, an e o vetor b dos termos independentes pertencem a ℝm, e resolver o sistema Ax = b é encontrar os vetores x = (x1, …, xn)T de ℝn tais que x1a1 + ⋯ + xnan = b. Cada solução (x1, …, xn)T é o vetor posição do ponto (x1, …, xn) de En que corresponde a ela: os dois têm as mesmas coordenadas, mas o primeiro é um vetor, e o segundo, um ponto. No primeiro experimento desta parte, você acrescenta equações uma a uma e conta as direções livres do conjunto solução, um número definido na guia Hiperplanos em En, em Conceitos da aula: zero quando os pontos das soluções se reduzem a um único ponto, uma quando eles formam uma reta e duas quando formam um plano. No segundo, resolve o sistema formado pelas diferenças medidas entre os relógios de servidores vizinhos. No terceiro, escreve um vetor de ℝn como combinação linear das n colunas de uma matriz n × n. Como não há como desenhar En nem ℝn quando n > 3, nos experimentos Equações sorteadas e Colunas em ℝⁿ o quadro de cima mostra uma projeção no plano da tela, descrita no painel Projeção: de pontos de En, no primeiro, e de vetores de ℝn, no segundo.

Os pontos das soluções

As equações [A | b]

Experimento

Acrescentar uma equação

Uma equação corta o conjunto solução quando o seu lado esquerdo não é combinação linear dos lados esquerdos das anteriores. Ela é redundante quando é uma combinação linear das anteriores, inclusive no lado direito, e contraditória quando o seu lado esquerdo é o de uma combinação linear das anteriores, mas o lado direito não é. Nas mensagens, a linha i de [A | b], que representa a equação i, se escreve Li.

Projeção

A figura é uma projeção, que leva cada ponto de En a um ponto da tela pela regra a seguir. Para j = 1, …, n, o vetor ej de ℝn, que tem a coordenada j igual a 1 e as outras nulas, é desenhado como uma seta que parte do centro da figura; essa seta, um vetor do plano da tela, se escreve wj. O ponto (x1, …, xn) de En é levado à ponta da seta x1w1 + ⋯ + xnwn desenhada a partir do centro, e a origem (0, …, 0) fica no centro. Um vetor v = (v1, …, vn)T de ℝn é desenhado como a seta v1w1 + ⋯ + vnwn, a partir do centro ou de um ponto já desenhado. Os segmentos claros que saem do centro, os eixos, apontam nas direções de w1, …, wn. Por isso, cada segmento de En aparece como um segmento ou como um ponto, mas comprimentos e ângulos podem mudar. Enquanto a figura gira, as setas w1, …, wn mudam devagar; arraste a figura para girá-la à mão.

Conceitos da aula

Três planos e três colunas

Uma guia por conceito, cada um com a definição, um exemplo resolvido e o lugar da bancada em que ele aparece. Sistema linear, solução, combinação linear e o produto de uma matriz por um vetor são definidos na Aula 1. O conteúdo corresponde à seção 1.2 do livro-texto.

Com três incógnitas, os pontos do espaço euclidiano E3 que satisfazem uma equação linear de coeficientes não todos nulos formam um plano de E3, e as soluções do sistema correspondem aos pontos comuns aos planos das suas equações.

Planos de E3

Os pontos do espaço formam o espaço euclidiano, que se escreve E3. Cada ponto de E3 se escreve com as suas três coordenadas, sem T, como o ponto (1, 2, 3), e o ponto (0, 0, 0) é a origem. O vetor (1, 2, 3)T de ℝ3 é o vetor posição do ponto (1, 2, 3), a seta que vai da origem até ele: os dois têm as mesmas coordenadas, mas são objetos diferentes. A soma de um ponto p = (p1, p2, p3) de E3 com um vetor v = (v1, v2, v3)T de ℝ3 é o ponto em que termina a seta de v desenhada a partir de p:

p + v = (p1 + v1, p2 + v2, p3 + v3).

Definição

Sejam α, β, γ, δ ∈ ℝ, com α, β e γ não todos nulos. O conjunto

{(x, y, z) ∈ E3 : αx + βy + γz = δ}

é um plano de E3, e αx + βy + γz = δ é uma equação desse plano. Dois planos de E3 são paralelos quando coincidem ou não têm ponto comum.

Num sistema de três equações nas incógnitas x, y e z, a matriz dos coeficientes se escreve A. A sua entrada da linha i e da coluna j, que é o coeficiente da j-ésima incógnita na equação i, se escreve aij, e o termo independente da equação i se escreve bi. Assim, a equação i é ai1x + ai2y + ai3z = bi. Quando a linha i de A não é nula, os pontos de E3 que satisfazem essa equação formam um plano de E3, o plano i, e a imagem das linhas do sistema é o desenho dos três planos. Um vetor (x, y, z)T de ℝ3 é solução do sistema se, e somente se, o ponto (x, y, z) de E3, que tem as mesmas coordenadas, pertence aos três planos.

Considere dois planos, de equações αx + βy + γz = δ e α′x + β′y + γ′z = δ′. Eles são paralelos exatamente quando os lados esquerdos são proporcionais, isto é, quando (α′, β′, γ′) = λ(α, β, γ) para algum escalar λ ≠ 0. Nesse caso, eles coincidem quando, além disso, δ′ = λδ, e não têm ponto comum quando δ′ ≠ λδ. Dois planos que não são paralelos se cortam numa reta. Em particular, mudar o termo independente bi não muda o lado esquerdo da equação i, e o plano i novo é paralelo ao antigo.

Três planos com um único ponto comum

Se os planos 1 e 2 não são paralelos, eles se cortam numa reta. O plano 3 corta essa reta num único ponto, ou a contém, ou não tem ponto comum com ela. No primeiro caso, e só nele, o sistema tem uma única solução.

Exemplo

No exemplo Três canais, as equações são x + y = 3, x + z = 4 e y + z = 5. Os planos 1 e 2 não são paralelos, pois os lados esquerdos das suas equações têm coeficientes (1, 1, 0) e (1, 0, 1), que não são proporcionais. Tomando y = t, as duas primeiras equações dão x = 3 − t e z = 1 + t, e a reta comum aos dois planos é formada pelos pontos

(3 − t, t, 1 + t)

= (3, 0, 1) + t(−1, 1, 1)T,  t ∈ ℝ.

Um ponto dessa reta pertence ao plano 3 quando t + (1 + t) = 5, isto é, quando t = 2. Os três planos têm, portanto, um único ponto comum,

(3 − 2, 2, 1 + 2) = (1, 2, 3),

e o sistema tem uma única solução, o vetor (1, 2, 3)T de ℝ3, que é o vetor posição desse ponto.

Na bancada: no quadro Imagem das linhas, a reta em que os planos i e j se cortam é marcada i ∩ j. Arraste o ponto preto, que representa o candidato a solução, e acompanhe, nas leituras abaixo da figura, o valor do lado esquerdo de cada equação; a missão 2 do roteiro pede um ponto da reta 1 ∩ 2 que não pertença ao plano 3.

Na imagem das colunas, o sistema inteiro é uma única igualdade entre vetores de ℝ3: uma combinação linear das três colunas da matriz dos coeficientes A deve ser igual ao vetor b dos termos independentes.

O sistema como combinação linear das colunas

Definição

Sejam a1, a2, a3 ∈ ℝ3 as colunas da matriz dos coeficientes A, de tamanho 3 × 3, e seja b ∈ ℝ3 o vetor dos termos independentes. Como na Aula 1, o produto de A pelo vetor (x, y, z)T é a combinação linear das colunas com coeficientes x, y e z:

A(x, y, z)T = xa1 + ya2 + za3.

Na imagem das colunas, resolver o sistema é encontrar escalares x, y e z tais que essa combinação linear seja igual a b. Assim, o sistema tem solução se, e somente se, b é combinação linear das colunas de A.

No quadro Imagem das colunas, cada vetor de ℝ3 é desenhado como uma seta que parte da origem e termina no ponto de E3 que tem as mesmas coordenadas, a ponta do vetor. A entrada da linha i e da coluna j de A se escreve aij. A coordenada i de xa1 + ya2 + za3 é ai1x + ai2y + ai3z, o lado esquerdo da equação i. Por isso as duas imagens descrevem o mesmo sistema: a combinação linear com coeficientes x, y e z é igual a b exatamente quando (x, y, z)T satisfaz as três equações. Quando nenhuma linha de A é nula, isso quer dizer que o ponto (x, y, z) de E3, com as coordenadas de (x, y, z)T, pertence aos três planos da imagem das linhas.

Exemplo

No exemplo Três canais, os canais 1, 2 e 3, de intensidades x, y e z, chegam a três receptores, e cada receptor mede a soma das intensidades dos canais que chegam a ele. A coordenada i da coluna aj é 1 se o canal j chega ao receptor i, e 0 se não chega: a1 = (1, 1, 0)T (receptores 1 e 2), a2 = (1, 0, 1)T (receptores 1 e 3) e a3 = (0, 1, 1)T (receptores 2 e 3). Com intensidades x = 1, y = 2 e z = 3, os receptores medem

1110 + 2101 + 3011 = 345,

que é o vetor b do sistema. Assim, a solução é o vetor (1, 2, 3)T de ℝ3, e o ponto (1, 2, 3) de E3, com as mesmas coordenadas, é o ponto comum aos três planos da guia Imagem das linhas.

Na bancada: no quadro Imagem das colunas, as setas tracejadas xa1, ya2 e za3, uma depois da outra, formam um caminho que parte da origem e termina na ponta da combinação linear. Mova os controles do painel Candidato a solução até o caminho terminar na ponta de b; a missão 1 do roteiro faz isso com b = (3, 4, 5)T.

Três planos de E3 nem sempre têm exatamente um ponto comum. Quando não têm, a matriz dos coeficientes é singular, no sentido definido abaixo. Esses são os casos singulares, e eles podem ser reconhecidos tanto pelas linhas quanto pelas colunas.

Matriz singular

Definição

Uma matriz A de tamanho 3 × 3 é singular quando as suas três colunas estão num mesmo plano de ℝ3 que passa pela origem, e não singular quando não estão.

Teorema

Seja A uma matriz de tamanho 3 × 3. Se A é não singular, então, para todo b ∈ ℝ3, o sistema A(x, y, z)T = b tem exatamente uma solução. Se A é singular, esse sistema tem infinitas soluções quando b é combinação linear das colunas de A, e nenhuma quando não é.

Por quê. Sejam a1, a2 e a3 as colunas de A. A ponta de um vetor de ℝ3 é o ponto de E3 com as mesmas coordenadas, em que termina a seta do vetor desenhada a partir da origem. Suponha primeiro que A seja não singular.

  1. As colunas a1 e a2 não são múltiplas uma da outra: se fossem, as três colunas estariam num mesmo plano que passa pela origem. Por isso, para escalares λ e μ quaisquer, as combinações lineares λa1 + μa2 formam um plano de ℝ3 que passa pela origem, que se escreve π. Cada vetor de π se escreve desse modo com um único par de escalares: se λa1 + μa2 = λ′a1 + μ′a2 com (λ, μ) ≠ (λ′, μ′), uma das duas colunas seria múltipla da outra.
  2. A coluna a3 não pertence a π. As pontas dos vetores de π formam um plano de E3 que passa pela origem, e as pontas dos vetores b − ta3, com t ∈ ℝ, formam a reta de E3 que passa pela ponta de b e tem a direção de a3. Essa reta não é paralela a esse plano, pois a3 não pertence a π, e por isso o corta num único ponto. Como a3 ≠ 0, pois o vetor nulo pertence a π, valores distintos de t dão pontas distintas. Assim, existe um único t ∈ ℝ para o qual b − ta3 pertence a π.
  3. Seja z esse valor de t, e sejam x e y os escalares com b − za3 = xa1 + ya2. Então b = xa1 + ya2 + za3, e (x, y, z)T é uma solução.
  4. Se também b = x′a1 + y′a2 + z′a3, o vetor b − z′a3 = x′a1 + y′a2 pertence a π. Pelo passo 2, z′ = z. Então x′a1 + y′a2 = xa1 + ya2, e, pelo passo 1, x′ = x e y′ = y: a solução é única.

Suponha agora que A seja singular.

  1. Existem escalares d1, d2 e d3, não todos nulos, com d1a1 + d2a2 + d3a3 = 0. De fato, se a1 e a2 não são múltiplas uma da outra, o plano de ℝ3 que passa pela origem e contém as três colunas é formado pelas combinações lineares de a1 e a2. Então a3 = λa1 + μa2 para escalares λ e μ, e servem λ, μ e −1. Se a2 = κa1 para um escalar κ, servem κ, −1 e 0; se a1 = κa2, servem 1, −κ e 0.
  2. Se b é combinação linear das colunas, o sistema tem uma solução (x, y, z)T. Para todo t ∈ ℝ, o vetor (x + td1, y + td2, z + td3)T também é solução, pois a combinação linear das colunas com esses coeficientes é b + t · 0 = b. Esses vetores são distintos para valores distintos de t, e por isso o sistema tem infinitas soluções.
  3. Se b não é combinação linear das colunas, o sistema não tem solução, como na guia Imagem das colunas.

As posições dos três planos

Quando A é singular e nenhuma linha de A é nula, os três planos ficam numa destas seis posições:

  • dois planos são paralelos e distintos, e o terceiro corta cada um deles numa reta, sendo as duas retas paralelas: nenhuma solução;
  • nenhum par de planos é paralelo, e os planos se cortam dois a dois em três retas paralelas e distintas: nenhuma solução;
  • os três planos são paralelos, mas não são todos coincidentes: nenhuma solução;
  • os três planos são distintos e contêm uma mesma reta: infinitas soluções, que correspondem aos pontos dessa reta;
  • dois planos coincidem, e o terceiro corta esse plano numa reta: infinitas soluções, que correspondem aos pontos dessa reta;
  • os três planos coincidem: infinitas soluções, que correspondem aos pontos desse plano.

Na segunda posição, vistos na direção das três retas paralelas, os planos aparecem de perfil, como três segmentos que formam os lados de um triângulo. Pelas colunas, o conjunto das combinações lineares das colunas de uma matriz singular A é:

  • um plano de ℝ3 que passa pela origem, o plano das colunas, quando duas das colunas não são múltiplas uma da outra;
  • uma reta de ℝ3 que passa pela origem, a reta das colunas, quando as três colunas são múltiplas de uma mesma coluna não nula;
  • o conjunto {0}, quando as três colunas são nulas.

O sistema tem infinitas soluções quando o vetor b dos termos independentes pertence a esse conjunto, e nenhuma quando não pertence. Na Aula 6, o conjunto de todas as combinações lineares das colunas de uma matriz recebe o nome de espaço das colunas.

Exemplo

No exemplo Três retas paralelas, as equações são x + y + z = 2, 2x + 3z = 5 e 3x + y + 4z = 4, e a linha 3 de A é a soma das linhas 1 e 2. Somando as equações 1 e 2, vemos que todo ponto comum aos planos 1 e 2 satisfaz

3x + y + 4z = 7,

e por isso não satisfaz a equação 3: o sistema não tem solução. Pelas colunas, a1 = (1, 2, 3)T, a2 = (1, 0, 1)T e a3 = (1, 3, 4)T satisfazem 3a1 − a2 − 2a3 = 0, isto é, a2 = 3a1 − 2a3. Por isso, as três colunas estão num mesmo plano que passa pela origem. Com o termo independente da equação 3 igual a b3 = 7, obtém-se o exemplo Três planos com uma reta comum: a equação 3 passa a ser a soma das outras duas, e as soluções correspondem aos pontos da reta comum aos planos 1 e 2, os pontos

(1, 0, 1) + t(3, −1, −2)T,  t ∈ ℝ.

As soluções são os vetores de ℝ3 com as mesmas coordenadas, (1, 0, 1)T + t(3, −1, −2)T.

Um sistema pode ter uma única solução e, ainda assim, ser muito sensível aos termos independentes. No exemplo Quase singular, a entrada da linha 3 e da coluna 3 de A vale 4,1 em vez de 4. O plano 3 fica quase paralelo à reta comum aos planos 1 e 2: o ângulo entre eles é de cerca de 0,6°. Mudar b3 de 7 para 7,1 leva a solução de (5/2, −1/2, 0)T para (1, 0, 1)T: uma mudança de 0,1 num termo independente muda z de 0 para 1.

Na bancada: no painel Exemplos, compare Três planos com uma reta comum, Três retas paralelas e Dois planos paralelos, e leia a descrição de cada caso no quadro O sistema na forma matricial. O botão Na direção das retas, no painel Vista das figuras, mostra os planos quase de perfil. No quadro Imagem das colunas, o plano das colunas aparece em cinza.

Com n incógnitas, os pontos do espaço euclidiano En que satisfazem uma equação linear de coeficientes não todos nulos formam um hiperplano de En. Quando n > 3, não há como desenhar En, mas é possível contar as direções livres do conjunto dos pontos comuns aos hiperplanos à medida que as equações são acrescentadas.

Hiperplanos de En

Para cada inteiro n ≥ 1, os pontos com n coordenadas formam o espaço euclidiano En. Com n = 2, ele é o plano euclidiano E2, e, com n = 3, o espaço E3 da guia Imagem das linhas. Um ponto de En se escreve sem T, como (x1, …, xn), e o vetor (x1, …, xn)T de ℝn é o seu vetor posição, a seta que vai da origem (0, …, 0) até ele: os dois têm as mesmas coordenadas, mas são objetos diferentes.

Definição

Sejam α1, …, αn ∈ ℝ, não todos nulos, e δ ∈ ℝ. O conjunto dos pontos de En que satisfazem a equação α1x1 + ⋯ + αnxn = δ,

{(x1, …, xn) ∈ En : α1x1 + ⋯ + αnxn = δ},

é um hiperplano de En. Em E2, os hiperplanos são as retas, e, em E3, os planos.

Considere um sistema de m equações nas incógnitas x1, …, xn em que nenhuma equação tem todos os coeficientes nulos. Cada equação descreve um hiperplano de En, e um vetor (x1, …, xn)T de ℝn é uma solução do sistema se, e somente se, o ponto (x1, …, xn), que tem as mesmas coordenadas, pertence aos m hiperplanos. Esse ponto se chama ponto da solução. Assim, os pontos das soluções são exatamente os pontos comuns aos hiperplanos das equações.

Direções livres

A soma de um ponto p = (p1, …, pn) de En com um vetor v = (v1, …, vn)T de ℝn é o ponto em que termina a seta de v desenhada a partir de p:

p + v = (p1 + v1, …, pn + vn).

Definição

Um conjunto de pontos de En tem k direções livres quando existem um ponto p de En e vetores v1, …, vk de ℝn tais que o conjunto é formado exatamente pelos pontos

p + t1v1 + ⋯ + tkvk,  t1, …, tk ∈ ℝ,

e k é o menor número de vetores com que isso é possível. Com k = 0, o conjunto tem um único ponto, p; com k = 1, ele é uma reta; com k = 2, um plano. O número de direções livres do conjunto solução de um sistema, o conjunto das suas soluções, é o número de direções livres do conjunto dos pontos dessas soluções.

Propriedade

Considere um sistema de m equações em n incógnitas, com termos independentes b1, …, bm, e seja S o conjunto dos pontos das suas soluções. Acrescente ao sistema uma nova equação.

  1. Se ela é redundante, isto é, uma combinação linear das equações anteriores, inclusive no lado direito, todo ponto de S a satisfaz, e o conjunto dos pontos das soluções continua sendo S.
  2. Se ela é contraditória, isto é, se o seu lado esquerdo é o da combinação linear das anteriores com coeficientes λ1, …, λm, mas o lado direito é diferente de λ1b1 + ⋯ + λmbm, o sistema passa a não ter solução.
  3. Se ela corta o conjunto solução, isto é, se o seu lado esquerdo não é combinação linear dos lados esquerdos das anteriores, e se S não é vazio, o conjunto dos pontos das novas soluções tem exatamente uma direção livre a menos que S.

Os itens 1 e 2 seguem de uma conta. Suponha que o lado esquerdo da nova equação seja o da combinação linear das anteriores com coeficientes λ1, …, λm. Se um vetor x de ℝn satisfaz as m equações anteriores, o lado esquerdo da nova equação, calculado em x, vale λ1b1 + ⋯ + λmbm. No item 1, esse é o lado direito da nova equação, e x a satisfaz. No item 2, não é, e nenhuma solução das equações anteriores satisfaz a nova. O item 3 é demonstrado mais adiante no curso, com a eliminação de Gauss (Aula 3) e a forma escalonada reduzida (Aula 8), assim como o fato de que, num sistema com solução, os pontos das soluções sempre formam um conjunto com direções livres; aqui você observa esses fatos equação por equação. Sem equações, todo vetor de ℝn é solução, e os pontos das soluções formam todo o En, com n direções livres. Cada equação que corta elimina uma delas, e n equações que cortam, acrescentadas uma a uma, deixam um único ponto.

Exemplo

Quatro servidores, numerados de 1 a 4, têm relógios, e o horário marcado pelo relógio do servidor i se escreve xi. Os servidores 2, 3 e 4 medem cada um a diferença entre o seu horário e o do servidor anterior, e as medições dão x2 − x1 = 1, x3 − x2 = 1 e x4 − x3 = 1. Essas equações dão x2 = x1 + 1, x3 = x1 + 2 e x4 = x1 + 3. Por isso, os vetores de horários x = (x1, x2, x3, x4)T que satisfazem as três medições são exatamente

x = (0, 1, 2, 3)T + λ(1, 1, 1, 1)T,  λ ∈ ℝ,

com λ = x1. Os pontos dessas soluções são os pontos

(0, 1, 2, 3) + λ(1, 1, 1, 1)T,  λ ∈ ℝ,

e formam uma reta de E4, com uma direção livre. A equação x4 − x1 = 3 é a soma das três medições, inclusive no lado direito, e é redundante. A equação x4 − x1 = 4 tem o mesmo lado esquerdo dessa soma, mas outro lado direito, e é contraditória. A equação x1 = 0 corta o conjunto solução: em toda combinação linear dos lados esquerdos das medições, a soma dos coeficientes de x1, …, x4 é 0, e no lado esquerdo de x1 = 0 ela é 1. Com essa equação, a única solução é o vetor (0, 1, 2, 3)T, e o seu ponto é (0, 1, 2, 3).

Na bancada: na parte Em dimensão n, escolha o experimento Equações sorteadas e use os botões do painel Acrescentar uma equação. O quadro Os pontos das soluções desenha esses pontos numa projeção, e as barras do quadro As equações [A | b] mostram o número de direções livres depois de cada equação. O experimento Relógios em cadeia é o exemplo acima, com 3 a 12 servidores.

Pelas colunas, um sistema com n incógnitas pede que o vetor b dos termos independentes seja uma combinação linear das n colunas da matriz dos coeficientes. Uma coluna que é combinação linear das outras não acrescenta nenhuma combinação linear nova.

Uma coluna que não acrescenta nada

Propriedade

Seja A uma matriz de tamanho m × n, com colunas a1, …, an ∈ ℝm, e seja b ∈ ℝm. Suponha que a última coluna seja combinação linear das outras, isto é, que existam escalares λ1, …, λn−1 com an = λ1a1 + ⋯ + λn−1an−1. Então as combinações lineares de a1, …, an são exatamente as combinações lineares de a1, …, an−1. Logo o sistema Ax = b, com o vetor das incógnitas x = (x1, …, xn)T, tem solução se, e somente se, b é combinação linear de a1, …, an−1, e, quando tem, tem infinitas.

Por quê. Dados coeficientes x1, …, xn, substituindo an e agrupando os termos de cada coluna,

x1a1 + ⋯ + xnan

= (x1 + λ1xn)a1 + ⋯ + (xn−1 + λn−1xn)an−1.

Reciprocamente, toda combinação linear de a1, …, an−1 é uma combinação linear de a1, …, an, com coeficiente 0 em an. Além disso, somar um escalar t a xn e subtrair tλj de cada xj, com j < n, não muda a combinação linear. Por isso, quando há uma solução, há infinitas, uma para cada t ∈ ℝ.

Exemplo

Em ℝ3, tome as colunas a1 = (1, 0, 0)T, a2 = (0, 1, 0)T e a3 = a1 + a2 = (1, 1, 0)T. Com coeficientes x1, x2 e x3, toda combinação linear das três colunas tem a terceira coordenada nula:

x1a1 + x2a2 + x3a3 = (x1 + x3, x2 + x3, 0)T.

Por isso o sistema com b = (0, 0, 1)T não tem solução. Com b = (1, 1, 0)T, as soluções são os vetores (1 − t, 1 − t, t)T, com t ∈ ℝ.

Na bancada: na parte Em dimensão n, escolha o experimento Colunas em ℝⁿ. No painel Coeficientes da combinação, o botão Resolver desenha o caminho das colunas que termina em b. Depois de marcar Trocar a última coluna por a₁ + a₂, o sistema deixa de ter solução, e a mensagem do painel explica por quê.

Para pensar

Três planos de E3 podem ter exatamente dois pontos em comum?

Não. Se P e Q são pontos distintos que pertencem aos três planos, a reta que passa por P e Q está contida em cada um dos planos, porque um plano que contém dois pontos contém a reta que passa por eles. Então os três planos têm infinitos pontos em comum. É o teorema da Aula 1, visto na imagem das linhas: um sistema linear tem nenhuma, exatamente uma ou infinitas soluções.

No exemplo Quase singular, por que a solução se desloca tanto quando o termo independente b3 muda um pouco?

A equação 3, 3x + y + 4,1z = b3, difere pouco da soma das equações 1 e 2, 3x + y + 4z = 7. Subtraindo essa soma da equação 3, obtemos 0,1z = b3 − 7, isto é, z = 10(b3 − 7): cada mudança de b3 aparece multiplicada por 10 em z. Com b3 = 7, a solução é (5/2, −1/2, 0)T; com b3 = 7,1, é (1, 0, 1)T. Geometricamente, o plano 3 é quase paralelo à reta comum aos planos 1 e 2, e um pequeno deslocamento dele move muito o ponto em que ele corta essa reta.

Com quatro equações e três incógnitas, quando há solução?

Na imagem das linhas, se nenhuma linha da matriz dos coeficientes A, agora de tamanho 4 × 3, é nula, as quatro equações descrevem quatro planos de E3, e o sistema tem solução se, e somente se, os quatro planos têm um ponto comum. Por exemplo, se os três primeiros planos têm um único ponto comum, o sistema tem solução se, e somente se, o quarto plano passa por esse ponto. Na imagem das colunas, as três colunas de A e o vetor b dos termos independentes pertencem a ℝ4, e o sistema tem solução se, e somente se, b é combinação linear das três colunas. Isso nem sempre acontece: com as colunas (1, 0, 0, 0)T, (0, 1, 0, 0)T e (0, 0, 1, 0)T, toda combinação linear tem a quarta coordenada nula, e b = (0, 0, 0, 1)T não é uma delas.