Centro de Informática · UFPE Álgebra Vetorial e LinearCIN0138 · 2026.2
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Aula 1 · 11/08 (ter) · Módulo 1 · laboratório

Geometria das equações lineares I

Nesta aula você estuda sistemas de equações lineares e duas interpretações geométricas deles. Num sistema de duas equações nas incógnitas x e y, a imagem das linhas mostra as soluções como os pontos comuns às retas das duas equações, no plano euclidiano E2, formado por pontos. A imagem das colunas usa vetores de ℝ2: as colunas a1 e a2 da matriz dos coeficientes e o vetor b dos termos independentes: resolver o sistema é encontrar os escalares x e y para os quais a combinação linear xa1 + ya2 é igual a b. Na bancada, você testa um candidato a solução nas duas imagens ao mesmo tempo e encontra os casos de uma solução, nenhuma ou infinitas. Na parte em dimensão n, você decide quais sinais medidos em n instantes são combinações lineares de padrões dados.

Imagem das linhas

O sistema tem duas equações nas incógnitas x e y. Cada equação em que os coeficientes de x e de y não são ambos nulos aparece como uma reta do plano euclidiano E2, formado por pontos. O ponto preto (x, y), que pode ser arrastado, é o candidato a solução: as suas coordenadas são os valores de x e de y que estão sendo testados. Uma reta fica mais grossa quando o ponto preto pertence a ela, e, quando as duas retas coincidem, a reta da segunda equação aparece tracejada. Se o sistema tem uma única solução e a opção Marcar a solução no quadro Imagem das linhas, do painel O que mostrar, está ligada, um círculo vermelho marca essa solução.

Imagem das colunas

O quadro mostra vetores de ℝ2, desenhados como setas que saem da origem. As setas cheias são as colunas a1 e a2 da matriz A dos coeficientes e, em vermelho, o vetor b dos termos independentes. Com os valores x e y do candidato a solução, a combinação linear xa1 + ya2 é desenhada assim: a seta tracejada xa1 sai da origem, a seta tracejada ya2 sai da ponta de xa1, e a ponta de ya2 é o ponto preto. Quando xa1 + ya2 é igual a b, um círculo verde aparece na ponta de b. Você pode arrastar as pontas de a1, a2 e b e o ponto preto. Quando as colunas estão numa mesma reta que passa pela origem e não são ambas nulas, essa reta aparece como uma faixa cinza. Nesse caso, o ponto preto não pode ser arrastado.

O sistema na forma matricial

O quadro mostra a matriz A dos coeficientes, com as colunas a1 e a2 nas cores do quadro Imagem das colunas, o vetor (x, y)T das incógnitas e, em vermelho, o vetor b dos termos independentes. O produto A(x, y)T é a combinação linear xa1 + ya2, e o sistema é a igualdade A(x, y)T = b.

Exemplos

Sistema [A | b]

Cada linha da tabela é uma equação do sistema. Na linha i, as duas primeiras entradas são os coeficientes de x e de y e formam a linha i da matriz A dos coeficientes. A última entrada é o termo independente bi, a coordenada i do vetor b. Por isso a tabela se escreve [A | b]: a matriz A fica à esquerda da barra, e o vetor b, à direita. As entradas podem ser inteiros, frações como 3/2 ou decimais como 0,5. Arrastar as pontas das colunas a1 e a2 de A e do vetor b, no quadro Imagem das colunas, também muda as entradas.

Candidato a solução

O candidato a solução é o vetor (x, y)T formado pelos valores dos controles Valor de x e Valor de y. Ele é uma solução quando satisfaz as duas equações. No quadro Imagem das linhas, x e y são as coordenadas do ponto preto (x, y). No quadro Imagem das colunas, eles são os coeficientes da combinação linear das colunas a1 e a2 da matriz A, isto é, do vetor xa1 + ya2.

O que mostrar

Pelo teclado, clique no quadro Imagem das linhas ou no quadro Imagem das colunas e use as teclas de seta para mover um ponto. No quadro Imagem das colunas, a barra de espaço escolhe qual ponto as teclas de seta movem: a ponta de a1, a ponta de a2, o ponto preto, quando ele pode ser arrastado, ou a ponta de b.

Em dimensão n

Quais sinais são combinações lineares das colunas?

Esta parte leva a imagem das colunas para ℝn. Um sinal, como a leitura de um sensor ao longo do tempo, medido em n instantes t1, …, tn, é um vetor de ℝn: a coordenada i é o valor do sinal no instante ti. As colunas da matriz A são padrões, sinais fixos medidos nos mesmos instantes, e o alvo é um sinal b, de coordenadas b1, …, bn. Para um vetor x de coeficientes, um por coluna, o produto Ax é a combinação linear das colunas com esses coeficientes. O sistema Ax = b, com uma equação por instante, tem solução exatamente quando o alvo b é combinação linear das colunas. Para medir quanto Ax está longe de b, a página calcula a raiz quadrada da soma dos quadrados das diferenças entre as coordenadas de b e as de Ax. Essa distância se escreve ‖b − Ax‖ e é zero exatamente quando Ax = b.

O alvo b e a combinação linear Ax

Em cada instante, o contorno tracejado vermelho mostra a coordenada do alvo b, o sinal que se quer escrever como combinação linear das colunas de A. A barra cheia preta mostra a coordenada de Ax, a combinação linear das colunas com os coeficientes do painel Coeficientes da combinação. Com o alvo Desenhar, as barras de b podem ser arrastadas.

As colunas de A

Padrões nas colunas de A

Alvo b

O alvo b é o sinal que se quer escrever como combinação linear das colunas de A. Os quatro primeiros alvos são amostragens de funções de t: a rampa 1 + 2t, a parábola (2t − 1)2, o degrau, que vale 0 para t < 1/2 e 2 para t ≥ 1/2, e a onda 1,5 sen(2πt), cujas amostras são arredondadas a seis casas decimais. Com Desenhar, você arrasta as barras do alvo no quadro O alvo b e a combinação linear Ax.

Coeficientes da combinação

Conceitos da aula

Sistemas lineares e as suas duas imagens

Uma guia por conceito, cada um com a definição, um exemplo resolvido e o lugar da bancada em que ele aparece. A notação é a do livro-texto de Strang (seção 1.2).

Um sistema linear é um conjunto de equações lineares nas mesmas incógnitas. Resolvê-lo é encontrar todos os valores das incógnitas que satisfazem as equações ao mesmo tempo.

Sistema linear e solução

Para cada inteiro n ≥ 1, um vetor de ℝn é uma lista ordenada de n números reais, as suas coordenadas, escrita em coluna, e ℝn é o conjunto desses vetores. Escrito na horizontal, o vetor leva um T: (1, 2)T é o vetor de ℝ2 de coordenadas 1 e 2. Os pontos do plano formam o plano euclidiano, que se escreve E2, e os pontos do espaço formam o espaço euclidiano E3; com n coordenadas, os pontos formam En. Um ponto se escreve sem o T, como o ponto (1, 2) de E2. O vetor (1, 2)T de ℝ2 é o vetor posição desse ponto, a seta que vai da origem até ele: os dois têm as mesmas coordenadas, mas são objetos diferentes. A imagem das linhas fala de pontos, e a imagem das colunas, de vetores. O vetor de ℝn que tem todas as coordenadas iguais a 0 se chama vetor nulo e se escreve 0.

Definição

Sejam m e n inteiros positivos. Um sistema linear de m equações e n incógnitas é um conjunto de m equações nas incógnitas x1, …, xn. Para cada i = 1, …, m, a equação i tem um coeficiente real aij para cada incógnita xj e um termo independente real bi, e se escreve

ai1x1 + ⋯ + ainxn = bi.

Uma solução do sistema é um vetor s = (s1, …, sn)T ∈ ℝn que satisfaz as m equações quando x1 = s1, …, xn = sn. O conjunto solução é o conjunto de todas as soluções.

Os coeficientes, dispostos numa tabela de m linhas e n colunas, formam a matriz dos coeficientes, que se escreve A. A entrada de A na linha i e na coluna j é aij, e se diz que A tem tamanho m × n. A linha i de A contém os coeficientes da equação i. Os termos independentes formam o vetor b = (b1, …, bm)T ∈ ℝm.

Na bancada, o sistema tem duas equações e duas incógnitas, e por isso se diz que ele é um sistema 2 × 2. As incógnitas se chamam x e y, em vez de x1 e x2. Chamamos de candidato a solução o vetor (x, y)T formado pelos valores de x e de y que estão sendo testados: ele é uma solução quando satisfaz as duas equações.

Exemplo

No sistema formado por 2x − y = 0 e −x + 2y = 3, o vetor (1, 2)T é uma solução, pois

2 · 1 − 2 = 0,

−1 + 2 · 2 = 3.

Já o candidato (3, 0)T não é solução, pois 2 · 3 − 0 = 6 ≠ 0.

Na bancada: no painel Candidato a solução, mova os controles Valor de x e Valor de y. As leituras abaixo do quadro Imagem das linhas dizem, para cada equação, quanto vale o lado esquerdo no candidato.

Num sistema de duas equações nas incógnitas x e y, cada equação cujos coeficientes não são ambos nulos é a equação de uma reta do plano euclidiano E2, formada por pontos. A imagem das linhas desenha essas retas, e as soluções do sistema correspondem aos pontos comuns a elas.

Imagem das linhas

Definição

Considere um sistema de duas equações nas incógnitas x e y, com coeficientes aij e termos independentes bi, como na guia Sistemas lineares:

a11x + a12y = b1,

a21x + a22y = b2.

Para i = 1, 2, se ai1 e ai2 não são ambos nulos, os pontos (x, y) de E2 que satisfazem a equação i formam uma reta de E2, a reta da equação i. Quando isso vale para as duas equações, a imagem das linhas do sistema é o desenho dessas duas retas, e um vetor (x, y)T é solução do sistema se, e somente se, o ponto (x, y) pertence às duas retas.

O nome vem das linhas da matriz A dos coeficientes: a reta da equação i é determinada pela linha i de A e pelo termo independente bi. Com três incógnitas, os pontos que satisfazem uma equação de coeficientes não todos nulos formam um plano do espaço euclidiano E3, assunto da Aula 2. Com n incógnitas, o conjunto desses pontos se chama hiperplano de En, e as soluções do sistema correspondem aos pontos comuns aos hiperplanos de todas as equações.

Mudar bi desloca a reta da equação i paralelamente a si mesma. De fato, quando ai2 ≠ 0, a reta é o gráfico de y = (bi − ai1x)/ai2, cuja inclinação, −ai1/ai2, não depende de bi. Quando ai2 = 0, a reta é vertical, qualquer que seja bi.

Multiplicar a equação i por um escalar λ ≠ 0 não muda a reta. Se um ponto satisfaz ai1x + ai2y = bi, multiplicando os dois lados por λ, ele satisfaz λ(ai1x + ai2y) = λbi. Se ele satisfaz λ(ai1x + ai2y) = λbi, multiplicando os dois lados por 1/λ, ele satisfaz ai1x + ai2y = bi. Assim, as duas igualdades são satisfeitas pelos mesmos pontos.

Exemplo

A reta da equação 2x − y = 0 é a reta y = 2x, que passa pela origem. A reta da equação −x + 2y = 3 passa pelos pontos (−3, 0) e (1, 2). Para encontrar o ponto comum, substituímos y = 2x na segunda equação:

−x + 2 · (2x) = 3,

3x = 3.

Logo x = 1 e y = 2 · 1 = 2: as retas se cruzam no ponto (1, 2) de E2, e a solução do sistema é o vetor (1, 2)T de ℝ2, o vetor posição desse ponto.

Na bancada: no quadro Imagem das linhas, arraste o ponto preto do candidato. Cada reta fica mais grossa quando o ponto pertence a ela. Quando o sistema tem uma única solução, a opção Marcar a solução no quadro Imagem das linhas, do painel O que mostrar, desenha um círculo vermelho no ponto de cruzamento.

Um escalar é um número real. Somar vetores e multiplicar um vetor por um escalar são as duas operações básicas de ℝn, e com elas se formam as combinações lineares.

Soma, multiplicação por escalar e combinação linear

Definição

Para quaisquer u = (u1, …, un)T e w = (w1, …, wn)T em ℝn e todo λ ∈ ℝ, a soma u + w e a multiplicação por escalar λu são feitas coordenada a coordenada:

u + w = (u1 + w1, …, un + wn)T,

λu = (λu1, …, λun)T.

Dados vetores v1, …, vk ∈ ℝn e escalares λ1, …, λk ∈ ℝ, o vetor

λ1v1 + λ2v2 + ⋯ + λkvk

é uma combinação linear de v1, …, vk, com coeficientes λ1, …, λk.

Um vetor u = (u1, u2)T de ℝ2 é desenhado como a seta que vai da origem até o ponto (u1, u2) de E2, a ponta de u. Se u não é o vetor nulo, o vetor λu pertence à reta que passa pela origem e pela ponta de u: o comprimento da seta fica multiplicado por |λ|, e o sentido se inverte quando λ < 0. Para desenhar u + w, desenhe a seta de w a partir da ponta de u: ela termina na ponta de u + w. Quando u e w não estão numa mesma reta que passa pela origem, u + w é a diagonal do paralelogramo de lados u e w. O vetor nulo é combinação linear de quaisquer vetores v1, …, vk: basta tomar todos os coeficientes iguais a 0.

Exemplo

Com v1 = (2, −1)T, v2 = (−1, 2)T e os coeficientes 2 e 1,

2v1 + 1v2 = (4, −2)T + (−1, 2)T = (3, 0)T.

Logo (3, 0)T é combinação linear de v1 e v2.

Na bancada: no quadro Imagem das colunas, as setas a1 e a2 são as colunas da matriz A, e x e y são os valores do candidato a solução. As setas tracejadas desenham xa1 e, a partir da ponta de xa1, ya2. O ponto preto é a ponta da combinação linear xa1 + ya2. No painel O que mostrar, ligue Grade das combinações lineares: quando a1 e a2 não estão numa mesma reta que passa pela origem, cada cruzamento da grade inclinada é a ponta de uma combinação linear de a1 e a2 com coeficientes inteiros.

A imagem das colunas escreve o mesmo sistema como uma igualdade entre vetores: uma combinação linear das colunas da matriz A dos coeficientes deve ser igual ao vetor b dos termos independentes.

O produto Ax

Definição

Seja A uma matriz m × n, e seja aj ∈ ℝm a coluna j de A, para j = 1, …, n. Para todo vetor x = (x1, …, xn)T ∈ ℝn, o produto Ax é a combinação linear das colunas de A com coeficientes x1, …, xn:

Ax = x1a1 + x2a2 + ⋯ + xnan.

A coordenada i da coluna aj é a entrada aij de A. Por isso, a coordenada i de Ax é ai1x1 + ⋯ + ainxn, o lado esquerdo da equação i. Assim, o sistema linear inteiro se escreve como a igualdade de vetores Ax = b, e x é uma solução se, e somente se, x1a1 + ⋯ + xnan = b. Na imagem das colunas, resolver o sistema é encontrar os coeficientes x1, …, xn que fazem da combinação linear das colunas o vetor b.

Na bancada, m = n = 2, e as incógnitas se chamam x e y. O vetor das incógnitas é (x, y)T, o produto de A por ele é A(x, y)T = xa1 + ya2, e o sistema se escreve A(x, y)T = b.

As duas imagens do mesmo sistema

Exemplo

No sistema formado por 2x − y = 0 e −x + 2y = 3, as colunas de A são a1 = (2, −1)T e a2 = (−1, 2)T, e o sistema é a igualdade

x2−1 + y−12 = 03.

Com x = 1 e y = 2,

1 · (2, −1)T + 2 · (−1, 2)T = (0, 3)T.

A primeira coordenada dessa igualdade, 2 · 1 − 1 · 2 = 0, é a primeira equação com x = 1 e y = 2, e a segunda coordenada, −1 · 1 + 2 · 2 = 3, é a segunda equação. Em geral, a coordenada i da igualdade xa1 + ya2 = b é a equação i. Por isso, x e y satisfazem as duas equações se, e somente se, xa1 + ya2 = b.

A imagem das colunas aparece em problemas de computação. No exemplo Comandos de um robô, da bancada, o robô parte da origem e só pode se deslocar somando à sua posição múltiplos de dois vetores, u = (2, 1)T e v = (1, 2)T, que são as colunas de A. Levá-lo ao ponto (5, 4) é escrever b = (5, 4)T como combinação linear de u e v: 2u + 1v = (5, 4)T, isto é, o deslocamento u duas vezes e o deslocamento v uma vez.

Na bancada: no quadro Imagem das colunas, o ponto preto é a ponta de xa1 + ya2, com os valores x e y do candidato a solução. Arraste-o até a ponta de b: um círculo verde aparece quando xa1 + ya2 = b. O quadro O sistema na forma matricial mostra A, o vetor (x, y)T e b, e diz quanto vale o produto A(x, y)T no candidato.

Um sistema linear tem exatamente uma solução, nenhuma ou infinitas. Não há outra possibilidade: se tem duas soluções distintas, tem infinitas.

O número de soluções

Teorema

Todo sistema linear Ax = b tem exatamente uma solução, nenhuma solução ou infinitas soluções.

Por quê. Use a notação da guia Imagem das colunas: A é a matriz m × n dos coeficientes, com colunas a1, …, an. Sejam u = (u1, …, un)T e w = (w1, …, wn)T vetores de ℝn, e seja λ um escalar. A coordenada j de u + λw é uj + λwj, e a definição do produto dá

A(u + λw) = (u1 + λw1)a1 + ⋯ + (un + λwn)an.

Distribuindo cada produto e reagrupando as parcelas, o que é permitido porque as operações são feitas coordenada a coordenada, com as regras dos números reais, obtemos

A(u + λw) = Au + λAw.

Agora suponha que u e v sejam soluções distintas de Ax = b e tome w = v − u, que não é o vetor nulo. Como v = u + w, a igualdade acima, com λ = 1, dá Av = Au + Aw, e então Aw = b − b = 0. Para todo escalar λ, A(u + λw) = b + λ · 0 = b: cada vetor u + λw é uma solução. Esses vetores são distintos para valores distintos de λ: se u + λw = u + μw para escalares λ e μ, então (λ − μ)w = 0, e uma coordenada não nula de w obriga λ = μ. Logo o sistema tem infinitas soluções. Quando n = 2, as pontas dos vetores u + λw formam a reta que passa pelas pontas de u e de v.

Os três casos num sistema 2 × 2

Suponha que nenhuma linha da matriz A dos coeficientes seja nula, de modo que cada equação tem a sua reta. As retas das equações a11x + a12y = b1 e a21x + a22y = b2 são paralelas ou coincidentes exatamente quando uma das linhas (a11, a12) e (a21, a22) de A é múltipla da outra. Caso contrário, elas se cruzam num único ponto. As linhas de A são múltiplas uma da outra exatamente quando as colunas a1 e a2 estão numa mesma reta que passa pela origem, como mostra a primeira pergunta de Para pensar. Daí os três casos:

  • Uma solução: as colunas não estão numa mesma reta que passa pela origem. As duas retas do sistema se cruzam num único ponto, qualquer que seja b.
  • Nenhuma solução: as colunas estão numa mesma reta que passa pela origem, e b não pertence a ela. Toda combinação linear das colunas pertence a essa reta, e nenhuma é igual a b. Na imagem das linhas, as retas são paralelas e distintas.
  • Infinitas soluções: as colunas estão numa mesma reta que passa pela origem, e b pertence a ela. Na imagem das linhas, as duas retas coincidem.

Exemplo

No sistema formado por x + y = 2 e x + y = 4, as duas colunas são iguais a (1, 1)T, e b = (2, 4)T não é múltiplo de (1, 1)T: o sistema não tem solução, e as retas são paralelas e distintas. No sistema formado por x + 2y = 3 e 2x + 4y = 6, a segunda equação é a primeira multiplicada por 2, e as duas retas coincidem. Para cada escalar λ, o vetor

(x, y)T = (3, 0)T + λ(−2, 1)T

= (3 − 2λ, λ)T

é uma solução, pois x + 2y = (3 − 2λ) + 2λ = 3, e a segunda equação é a primeira multiplicada por 2. Toda solução tem essa forma: se x + 2y = 3, então x = 3 − 2y, e basta tomar λ = y.

Na bancada: no painel Exemplos, escolha Retas paralelas e A mesma reta. O quadro O sistema na forma matricial classifica o sistema e, no caso de infinitas soluções, escreve a forma de todas elas. As missões 4 e 5 do roteiro levam o exemplo de Strang a esses dois casos.

Retas quase paralelas

Quando o sistema tem uma única solução, as duas retas se cruzam num único ponto. Se as inclinações das retas são próximas, uma mudança pequena no vetor b dos termos independentes pode deslocar muito esse ponto. Um sistema em que mudanças pequenas em b provocam mudanças grandes na solução é chamado de mal condicionado. O termo é qualitativo: não há um limite exato entre pequeno e grande, e o exemplo abaixo mede o efeito num caso concreto. Em computação, os dados vêm de medidas e são guardados com arredondamento, e um sistema mal condicionado amplia esses erros na solução.

Exemplo

Considere o sistema de termos independentes b1 e b2 formado por x + y = b1 e x + 1,25y = b2. As retas das duas equações têm inclinações −1 e −0,8. Subtraindo a primeira equação da segunda, obtemos

0,25y = b2 − b1.

Logo y = 4(b2 − b1) e x = b1 − y. Com b = (2; 2,5)T, a solução é (0; 2)T. Com b = (2; 2,75)T, ela passa a ser (−1; 3)T. Uma mudança de 0,25 em b2 mudou cada coordenada da solução em 1, quatro vezes mais.

Na bancada: no painel Exemplos, escolha Retas quase paralelas e arraste a ponta de b no quadro Imagem das colunas: ela se move de 0,25 em 0,25 em cada coordenada, e o valor de b aparece ao lado dela durante o arrasto. No quadro Imagem das linhas, um círculo vermelho marca a solução quando a opção Marcar a solução no quadro Imagem das linhas, do painel O que mostrar, está ligada. A missão 7 do roteiro faz esse experimento.

A imagem das colunas se aplica a sistemas de qualquer tamanho. Na parte Em dimensão n, cada vetor de ℝn representa um sinal medido em n instantes, e as colunas da matriz A são sinais fixos, chamados de padrões.

Sinais como vetores de ℝn

Definição

Sejam f uma função real definida no intervalo [0, 1] e t1, …, tn instantes desse intervalo. A amostragem de f nesses instantes é o vetor (f(t1), …, f(tn))T ∈ ℝn. A sua coordenada i, f(ti), é a amostra de f no instante ti. Na bancada, n ≥ 3 e ti = (i − 1)/(n − 1) para i = 1, …, n, de modo que t1 = 0, tn = 1 e os instantes são igualmente espaçados.

Os padrões vêm de três funções de t: a constante 1, a rampa t e a parábola t2. Com a opção Constante e rampa, as colunas de A são as amostragens das duas primeiras. Com a opção Constante, rampa e parábola, são as amostragens das três. Com a opção n colunas aleatórias, as colunas não vêm de funções: as entradas de A são inteiros sorteados entre −2 e 2.

Pela imagem das colunas, um sinal b é combinação linear das colunas se, e somente se, o sistema Ax = b, com uma equação por instante, tem solução. Com a constante e a rampa, nem todo sinal é combinação linear das colunas. De fato, com os coeficientes x1, da constante, e x2, da rampa, a amostra i da combinação linear é x1 + x2ti, e os pontos (ti, x1 + x2ti) ficam sobre uma reta. Um sinal b cujos pontos (ti, bi) não estão sobre uma reta, portanto, não é combinação linear da constante e da rampa.

Exemplo

Com n = 3, os instantes são 0, 1/2 e 1, e as colunas da constante e da rampa são (1, 1, 1)T e (0, 1/2, 1)T. A amostragem (1, 2, 3)T da rampa 1 + 2t é combinação linear delas:

1 · (1, 1, 1)T + 2 · (0, 1/2, 1)T

= (1, 1, 1)T + (0, 1, 2)T = (1, 2, 3)T.

A amostragem da parábola (2t − 1)2 é (1, 0, 1)T. Se existissem escalares x1 e x2 com x1(1, 1, 1)T + x2(0, 1/2, 1)T = (1, 0, 1)T, a primeira coordenada daria x1 = 1, e a terceira, x1 + x2 = 1, logo x2 = 0. Então a segunda coordenada seria x1 + x2/2 = 1, e não 0. Com a terceira coluna, a amostragem (0, 1/4, 1)T de t2, o vetor de coeficientes x = (1, −4, 4)T resolve o sistema, pois (2t − 1)2 = 1 − 4t + 4t2:

1 − 4 · 0 + 4 · 0 = 1,

1 − 4 · 1/2 + 4 · 1/4 = 0,

1 − 4 · 1 + 4 · 1 = 1.

Na bancada: na parte Em dimensão n, ponha 3 no controle Número n de amostras e escolha os padrões Constante e rampa e o alvo Parábola, que é a amostragem de (2t − 1)2. A distância ‖b − Ax‖, no quadro O alvo b e a combinação linear Ax, não chega a zero com nenhuma escolha dos coeficientes. Com os padrões Constante, rampa e parábola, ela chega a zero com x1 = 1, x2 = −4 e x3 = 4.

Para pensar

Se as colunas de uma matriz A de tamanho 2 × 2 estão numa mesma reta que passa pela origem, o que acontece com as linhas de A?

As linhas de A também estão numa mesma reta que passa pela origem. Para ver por quê, sejam a1 e a2 as colunas de A e aij a entrada de A na linha i e na coluna j. Duas colunas estão numa mesma reta que passa pela origem exatamente quando uma delas é múltipla da outra. Se existe um escalar λ com a2 = λa1, a linha i de A é (ai1, λai1) = ai1(1, λ), e as duas linhas são múltiplas de (1, λ). Se existe um escalar μ com a1 = μa2, as duas linhas são múltiplas de (μ, 1). O mesmo argumento, com linhas e colunas trocadas, mostra a recíproca. No sistema, isso quer dizer que os lados esquerdos das duas equações são múltiplos de uma mesma expressão, como x + λy. Então as retas do sistema são paralelas ou coincidentes, ou uma das equações tem o lado esquerdo nulo.

Com três equações e duas incógnitas, quando o sistema tem solução?

Na imagem das linhas, se nenhuma equação tem os dois coeficientes nulos, há três retas de E2, e o sistema tem solução se, e somente se, elas têm um ponto comum. Isso nem sempre acontece: as retas x = 0, y = 0 e x + y = 1, por exemplo, não têm ponto comum. Na imagem das colunas, a matriz A dos coeficientes tem tamanho 3 × 2, e as suas colunas a1 e a2 e o vetor b dos termos independentes pertencem a ℝ3. Se a1 e a2 não estão numa mesma reta que passa pela origem, as combinações lineares xa1 + ya2 formam um plano que passa pela origem, e o sistema tem solução se, e somente se, b pertence a esse plano.

Multiplicar uma equação por 0 muda as soluções do sistema?

Pode mudar. Multiplicada por 0, a equação 2x − y = 0 passa a ser 0x + 0y = 0, que todo ponto (x, y) satisfaz. As soluções do sistema antigo continuam sendo soluções, mas podem aparecer outras. No exemplo de Strang, formado por 2x − y = 0 e −x + 2y = 3, a solução única (1, 2)T passaria a ser uma das infinitas soluções de −x + 2y = 3. Multiplicar uma equação por um escalar λ ≠ 0, ao contrário, não muda as soluções, porque a operação pode ser desfeita multiplicando a equação por 1/λ.