Centro de Informática · UFPE Álgebra Vetorial e LinearCIN0138 · 2026.2
Google Classroom

Aula 10 · 20/10 (ter) · Módulo 2 · laboratório

Transformações lineares I

Nesta aula você estuda as transformações lineares de ℝn em ℝm e a matriz canônica de uma transformação linear T. A coluna j dessa matriz é a imagem por T do j-ésimo vetor ej da base canônica, o vetor T(ej). Na bancada, você monta rotações, reflexões, projeções e cisalhamentos de ℝ2 arrastando as pontas das setas T(e1) e T(e2), compara uma grade e o desenho de uma casa com as imagens deles por T e testa a definição de transformação linear em duas funções que não são lineares.

Plano de entrada

A grade, os vetores e1 = (1, 0)T e e2 = (0, 1)T da base canônica, o quadrado unitário, de lados e1 e e2, e o desenho de uma casa, com a porta do lado esquerdo e a janela do lado direito. Perto da origem, uma seta curva vai de e1 até e2 no sentido anti-horário. Arraste o vetor x ou, no teste da linearidade, os vetores u e v. O quadro Plano de saída mostra as imagens dessas figuras pela transformação T escolhida no painel Exemplos ou montada no painel A transformação.

Plano de saída

As imagens, pela transformação T, da grade, da casa e dos vetores do quadro Plano de entrada. A grade e a casa são formadas por pontos. O vetor posição de um ponto é a seta que vai da origem até ele, e a imagem por T de um ponto é o ponto cujo vetor posição é a imagem por T do vetor posição do ponto original. A imagem da grade é vermelha, e a casa original aparece tracejada em cinza. As setas T(e1) e T(e2), imagens de e1 e e2, são as colunas da matriz de T; quando T é linear, as pontas delas podem ser arrastadas.

A matriz canônica de T

Exemplos

A transformação

A matriz A é a matriz canônica da transformação T: a coluna j de A é a imagem por T do vetor ej da base canônica, o vetor T(ej). As entradas podem ser inteiros, frações como 1/2 ou decimais como 0,5. Arrastar as pontas das setas T(e1) e T(e2) no quadro Plano de saída também muda as colunas de A.

Animação de I até A

O controle Instante τ escolhe um escalar τ entre 0 e 1. O quadro Plano de saída mostra a imagem da casa por uma matriz que muda continuamente com τ e que é a identidade I em τ = 0 e a matriz A de T em τ = 1. Quando o determinante de A é negativo ou nulo, como numa reflexão, a matriz do instante τ é (1 − τ)I + τA. Numa rotação de ângulo θ, ela é a rotação de ângulo τθ.

O que arrastar na entrada

O que mostrar

Pelo teclado: clique no quadro Plano de entrada ou no quadro Plano de saída e use as setas do teclado; a barra de espaço escolhe qual ponta se move.

Em dimensão n

A derivada como matriz

Os polinômios de grau no máximo n, na variável t, formam um espaço vetorial com a soma e a multiplicação por escalar usuais. Cada polinômio p desse espaço é determinado pelos seus coeficientes, os escalares a0, a1, …, an, e se escreve p(t) = a0 + a1t + ⋯ + antn. A página representa p pelo vetor de coeficientes (a0, a1, …, an)T, um vetor de ℝn+1. A derivada, que leva p em p′, é uma transformação linear, pois (p + q)′ = p′ + q′ e (λp)′ = λp′ para quaisquer polinômios p, q e todo escalar λ ∈ ℝ. Por isso ela tem uma matriz, que se escreve D: o produto de D pelo vetor de coeficientes de p é o vetor de coeficientes de p′. A integral de 0 a t também é uma transformação linear, e a matriz dela se escreve J.

Os gráficos

Os coeficientes

Os vetores de coeficientes de p e do resultado da operação, com uma barra por potência de t. As barras pretas são os coeficientes de p, em ℝn+1, e podem ser arrastadas. As barras vermelhas são os coeficientes do resultado: um vetor de ℝn+1 nas derivadas e um vetor de ℝn+2 nas operações que usam a integral, que aumenta o grau em 1.

A matriz da operação

Polinômio p

Operação

Em ℝ3

Rotação e projeção de um cubo

Em ℝ3, como em ℝ2, a coluna j da matriz canônica de uma transformação linear T: ℝ3 → ℝ3 é a imagem por T do vetor ej da base canônica de ℝ3, o vetor T(ej), para j = 1, 2, 3. O cubo unitário, de arestas e1, e2 e e3 a partir da origem, é levado por T no paralelepípedo de arestas T(e1), T(e2) e T(e3): como no quadro Plano de saída, a imagem de um ponto é o ponto cujo vetor posição é a imagem por T do vetor posição do ponto original. Esse paralelepípedo fica contido num plano que passa pela origem quando T é uma projeção. Na rotação em torno de um eixo, um ângulo positivo corresponde ao sentido anti-horário para quem olha para a origem a partir da ponta do vetor que define o eixo: e1, e2, e3 ou (1, 1, 1)T. Arraste o fundo do quadro O cubo e a sua imagem para girar a vista.

O cubo e a sua imagem

A matriz 3 × 3

A matriz canônica A da transformação T escolhida no painel Transformação de ℝ3. Cada coluna tem a cor da aresta correspondente do paralelepípedo: T(e1), T(e2) e T(e3).

Transformação de ℝ3

O botão Animar de I até A mostra a imagem do cubo por matrizes que vão da identidade I até a matriz A do quadro A matriz 3 × 3. Pelo teclado: clique no quadro O cubo e a sua imagem e use as setas para girar a vista; as teclas + e − aproximam ou afastam a vista.

Conceitos da aula

Transformações lineares e a matriz canônica

Uma guia por conceito, cada um com a definição, um exemplo resolvido e o lugar da bancada em que ele aparece. Os vetores são colunas: um vetor x de ℝ2 tem coordenadas x1 e x2 e se escreve x = (x1, x2)T. A seção correspondente do livro-texto é a 2.6.

Uma transformação é uma função que leva vetores em vetores. Ela é linear quando preserva as duas operações dos espaços vetoriais, a soma e a multiplicação por escalar, no sentido da definição abaixo.

Transformação linear

Definição

Uma função T: ℝn → ℝm é uma transformação linear se, para quaisquer u, v ∈ ℝn e todo λ ∈ ℝ,

  1. T(u + v) = T(u) + T(v);
  2. T(λu) = λT(u).

Para cada x ∈ ℝn, o vetor T(x) ∈ ℝm é a imagem de x por T. Quando m = n, também se diz que T é um operador linear de ℝn.

As duas condições equivalem a uma só: para quaisquer u, v ∈ ℝn e quaisquer λ, μ ∈ ℝ, vale T(λu + μv) = λT(u) + μT(v). Em palavras: T leva cada combinação linear de dois vetores na mesma combinação linear das imagens deles. Duas consequências:

  • T leva o vetor nulo de ℝn no vetor nulo de ℝm: para qualquer u ∈ ℝn, T(0) = T(0u) = 0T(u) = 0;
  • a mesma igualdade vale para combinações lineares de qualquer número de vetores: a imagem de uma combinação linear é a combinação linear das imagens, com os mesmos coeficientes.

Toda matriz A de tamanho m × n define uma transformação linear T: ℝn → ℝm, dada por T(x) = Ax, porque A(u + v) = Au + Av e A(λu) = λ(Au) para quaisquer u, v ∈ ℝn e todo λ ∈ ℝ.

Um exemplo e dois contraexemplos

Exemplo

Seja T: ℝ2 → ℝ2 a função que leva cada vetor x = (x1, x2)T em T(x) = (2x1 + x2, x1 − x2)T. Ela é linear. Para conferir a primeira condição, tome dois vetores u = (u1, u2)T e v = (v1, v2)T. A primeira coordenada de T(u + v) é

2(u1 + v1) + (u2 + v2)

= (2u1 + u2) + (2v1 + v2),

e a segunda é

(u1 + v1) − (u2 + v2)

= (u1 − u2) + (v1 − v2).

Nas duas contas, o primeiro parêntese do lado direito é a coordenada correspondente de T(u) = (2u1 + u2, u1 − u2)T, e o segundo, a de T(v). Logo T(u + v) = T(u) + T(v). A segunda condição sai do mesmo modo: para todo λ ∈ ℝ,

T(λu) = (2λu1 + λu2, λu1 − λu2)T

= λT(u).

A translação não é linear. A translação por um vetor não nulo soma esse vetor a todos os vetores de ℝ2. Por exemplo, a translação por (1, 1)T é a função T(x) = x + (1, 1)T. Ela tem T(0) = (1, 1)T ≠ 0, e uma transformação linear sempre leva o vetor nulo no vetor nulo. A primeira condição também falha: T(u) + T(v) = T(u + v) + (1, 1)T para quaisquer vetores u e v.

Em computação gráfica, a translação é representada por uma matriz com coordenadas homogêneas. O vetor (x1, x2)T de ℝ2 passa a ser o vetor (x1, x2, 1)T de ℝ3, e a translação por (1, 1)T passa a ser a multiplicação pela matriz 101011001, que leva (x1, x2, 1)T em (x1 + 1, x2 + 1, 1)T.

Elevar as coordenadas ao quadrado não é linear. Seja T(x) = (x12, x22)T para todo x = (x1, x2)T. Para u = (1, 1)T, temos T(2u) = (4, 4)T, mas 2T(u) = (2, 2)T. Um único contraexemplo basta para mostrar que uma função não é linear.

Na bancada: no painel O que arrastar na entrada, escolha Teste da linearidade. Arraste os vetores u e v no quadro Plano de entrada e mude o escalar λ no controle Escalar λ. Se T é linear, no quadro Plano de saída o ponto preto, na ponta de T(u + v), coincide com o centro do círculo vermelho maior, na ponta de T(u) + T(v), e o ponto azul, na ponta de T(λu), coincide com o centro do círculo vermelho menor, na ponta de λT(u). Nos exemplos Translação e Quadrado das coordenadas, há escolhas de u, v e λ em que isso falha.

Toda transformação linear de ℝn em ℝm é a multiplicação por uma matriz. Para encontrar essa matriz, basta conhecer as imagens dos vetores da base canônica.

A matriz de uma transformação linear

Teorema

Seja T: ℝn → ℝm uma transformação linear e sejam e1, …, en os vetores da base canônica de ℝn: o vetor ej tem 1 na posição j e 0 nas demais. Então existe uma única matriz A, de tamanho m × n, tal que T(x) = Ax para todo x ∈ ℝn. A coluna j de A é T(ej):

A = [ T(e1)   T(e2)   ⋯   T(en) ].

Essa matriz é a matriz canônica de T, isto é, a matriz de T em relação às bases canônicas.

Por quê. Todo vetor x = (x1, …, xn)T de ℝn se escreve como x = x1e1 + ⋯ + xnen. Pela linearidade,

T(x) = x1T(e1) + ⋯ + xnT(en),

que é a combinação linear das colunas T(e1), …, T(en) com os coeficientes x1, …, xn, ou seja, o produto Ax. A matriz é única porque o produto de uma matriz por ej é a coluna j dela: toda matriz cujo produto por x é T(x), para todo x, tem T(ej) como coluna j. Logo os n vetores T(e1), …, T(en) determinam T(x) para todo x.

Um exemplo em ℝ2

Exemplo

Seja T a rotação de 90° no sentido anti-horário. Ela leva e1 = (1, 0)T em (0, 1)T e e2 = (0, 1)T em (−1, 0)T. Essas são as colunas da matriz canônica:

A = 0−110.

Para x = (3, 1)T, a imagem é

T(x) = 3T(e1) + 1T(e2)

= (0, 3)T + (−1, 0)T

= (−1, 3)T.

Outra base. Sejam T uma transformação linear de ℝ2 em ℝ2, de matriz canônica A, e f1, f2 dois vetores que formam uma base de ℝ2. Suponha que conhecemos as imagens deles, w1 = T(f1) e w2 = T(f2). Essas imagens também determinam T. Seja F a matriz de colunas f1 e f2, e seja W a matriz de colunas w1 e w2. A coluna j de AF é Afj = wj, então AF = W. Como as colunas de F formam uma base, F é invertível, e A = WF−1.

Na bancada: no quadro Plano de saída, arraste as pontas das setas T(e1) e T(e2); a matriz do quadro A matriz canônica de T muda junto, coluna por coluna. No modo O vetor x, você arrasta o vetor x = (x1, x2)T no quadro Plano de entrada, e as setas tracejadas do quadro Plano de saída mostram T(x) como a soma de x1T(e1) com x2T(e2). A missão 5 do roteiro usa a base formada por f1 = (1, 1)T e f2 = (1, −1)T.

Em cada exemplo, as colunas da matriz canônica são as imagens dos vetores e1 e e2 da base canônica. Os ângulos são medidos a partir do eixo x, no sentido anti-horário.

Rotação e reflexão

A rotação de ângulo θ no sentido anti-horário leva e1 em (cos θ, sen θ)T e e2 em (−sen θ, cos θ)T. A matriz dela se escreve Qθ:

Qθ = cos θ−sen θsen θcos θ.

A reflexão em relação à reta que passa pela origem e faz ângulo α com o eixo x leva cada vetor no simétrico dele em relação a essa reta: os vetores da reta ficam fixos, e os vetores perpendiculares a ela são levados nos seus opostos. Ela leva e1, que faz ângulo 0° com o eixo x, no vetor de comprimento 1 que faz ângulo 2α, e leva e2, que faz ângulo 90°, no vetor de comprimento 1 que faz ângulo 2α − 90°. A matriz dela se escreve Hα:

Hα = cos 2αsen 2αsen 2α−cos 2α.

Com α = 45°, a reta é y = x, e H45° tem colunas e2 e e1: a reflexão troca as duas coordenadas, H45°(x1, x2)T = (x2, x1)T.

Exemplo

Com θ = 30°, a rotação leva (2, 0)T = 2e1 em

2(cos 30°, sen 30°)T = (√3, 1)T.

O comprimento continua igual a 2, pois (√3)2 + 12 = 4.

Projeção e cisalhamento

A projeção ortogonal sobre a reta que passa pela origem e faz ângulo α com o eixo x leva cada vetor no vetor da reta mais próximo dele. O vetor de comprimento 1 que faz ângulo α com o eixo x, (cos α, sen α)T, pertence à reta; a projeção leva e1 em cos α · (cos α, sen α)T e e2 em sen α · (cos α, sen α)T. A matriz dela se escreve Pα:

Pα = cos2 αcos α sen αcos α sen αsen2 α.

Com α = 0, a reta é o eixo x, e P0(x1, x2)T = (x1, 0)T. Projetar duas vezes dá o mesmo que projetar uma vez: Pα2 = Pα. A Aula 12 estuda as projeções em geral.

Dado um escalar μ, o cisalhamento na direção do eixo x de fator μ é a transformação que leva cada vetor (x1, x2)T em (x1 + μx2, x2)T. As colunas da matriz dele são (1, 0)T e (μ, 1)T. Os vetores do eixo x ficam fixos. Cada reta horizontal é levada em si mesma: o vetor (x1, x2)T se desloca μx2 na direção do eixo x, um deslocamento proporcional à segunda coordenada. Inclinar as letras de um texto, como numa fonte oblíqua, é um cisalhamento.

Exemplo

A projeção ortogonal sobre o eixo x leva (3, 2)T em (3, 0)T, e projetar de novo não muda nada: P0(3, 0)T = (3, 0)T. O cisalhamento de fator μ = 2 leva (1, 1)T em (1 + 2 · 1, 1)T = (3, 1)T.

Na bancada: no painel Exemplos, escolha cada transformação e mude o parâmetro no painel A transformação: o ângulo θ da rotação, o ângulo α da reta ou o fator μ do cisalhamento.

Dois subespaços associados à matriz canônica de uma transformação linear, o espaço das colunas e o espaço nulo, descrevem a transformação: o primeiro é o conjunto das imagens, e o segundo é o conjunto dos vetores levados no vetor nulo.

Imagem e espaço nulo de T

Definição

Seja T: ℝn → ℝm linear, com matriz canônica A. A imagem de T é o conjunto Im(T) = {T(x) : x ∈ ℝn}, e o espaço nulo de T, também chamado de núcleo, é o conjunto {x ∈ ℝn : T(x) = 0}.

Como T(x) = Ax, a imagem de T é o espaço das colunas C(A), e o espaço nulo de T é o espaço nulo N(A) de A. A dimensão da imagem é o posto de A.

Se N(A) ≠ {0}, vetores diferentes têm a mesma imagem. De fato, se um vetor h ≠ 0 pertence a N(A), então, para todo x ∈ ℝn, os vetores x e x + h são diferentes e T(x + h) = T(x) + T(h) = T(x). Nesse caso, nenhuma função leva cada imagem T(x) de volta ao vetor x, e, se A é quadrada, A não tem inversa.

Um exemplo em ℝ2

Exemplo

A projeção ortogonal sobre o eixo x tem matriz P0 = 1000 e leva cada vetor x = (x1, x2)T em P0x = (x1, 0)T.

  • A imagem é o eixo x: toda imagem tem a segunda coordenada nula, e todo vetor (x1, 0)T do eixo x é a imagem de si mesmo.
  • O espaço nulo é o eixo y: P0x = 0 se, e somente se, x1 = 0.
  • O posto é 1. Os vetores (3, 2)T e (3, −5)T são diferentes e têm a mesma imagem, (3, 0)T; a diferença entre eles, (0, 7)T, pertence ao espaço nulo.

Na bancada: os blocos Espaço nulo e Posto, no quadro A matriz canônica de T, dizem qual é o espaço nulo e qual é a imagem da transformação montada. Na missão 4 do roteiro, você encontra o espaço nulo de uma projeção arrastando o vetor x no quadro Plano de entrada.

Comparar uma figura com a imagem dela por uma transformação linear T de ℝ2, de matriz canônica A, mostra duas informações: o fator pelo qual T multiplica as áreas e se T inverte a orientação. As duas vêm do determinante de A.

A casa e o quadrado unitário

No quadro Plano de entrada, a casa é formada por paredes, telhado, chaminé, uma porta do lado esquerdo e uma janela do lado direito. Os pontos do plano formam o plano euclidiano, que se escreve E2, e a casa é um conjunto de pontos de E2. Cada ponto (x1, x2) de E2 tem um vetor posição, o vetor x = (x1, x2)T de ℝ2, desenhado como a seta que vai da origem até o ponto: os dois têm as mesmas coordenadas, mas são objetos diferentes. A imagem por T desse ponto é o ponto cujo vetor posição é T(x). O quadro Plano de saída mostra a imagem da casa por T, o conjunto das imagens dos pontos da casa. Como T é linear, a imagem de um segmento é o segmento que liga as imagens dos seus extremos, ou um único ponto, se essas imagens coincidem. Por isso a imagem da casa é obtida ligando as imagens dos seus cantos.

O quadrado unitário é o quadrado cujos vértices são a origem e as pontas de e1, e1 + e2 e e2. Pelo mesmo motivo, T o leva no paralelogramo cujos vértices são a origem e as pontas de T(e1), T(e1) + T(e2) e T(e2); os dois lados que saem da origem são as setas das colunas de A. Quando as duas colunas estão numa mesma reta que passa pela origem, esse paralelogramo se reduz a um segmento ou a um ponto.

O determinante 2 × 2

Definição

O determinante da matriz A = abcd, de entradas a, b, c e d, é o número det A = ad − bc, o mesmo que aparece na fórmula da inversa de uma matriz 2 × 2. As Aulas 14 e 15 estudam o determinante de matrizes de qualquer tamanho.

Definição

Suponha que T(e1) e T(e2) não estão numa mesma reta que passa pela origem. O menor arco que vai da direção de T(e1) até a direção de T(e2) é percorrido no sentido anti-horário, como o arco de 90° que vai de e1 até e2, ou no sentido horário. No primeiro caso, T preserva a orientação; no segundo, T inverte a orientação.

O determinante tem um significado geométrico:

  • a área do paralelogramo de lados T(e1) e T(e2) é |det A|, e T multiplica a área de qualquer figura por |det A|;
  • T preserva a orientação quando det A > 0 e inverte a orientação quando det A < 0. No segundo caso, a seta curva perto da origem do quadro Plano de saída, que vai de T(e1) até T(e2), aponta no sentido horário, e a imagem da casa aparece espelhada: olhando-a com o telhado para cima, a porta fica do lado direito;
  • se det A = 0, as colunas de A estão numa mesma reta que passa pela origem, e T leva todo o ℝ2 nessa reta. A imagem da casa é então um segmento sobre essa reta ou, se A é a matriz nula, a origem.

Exemplo

  • O cisalhamento de fator μ = 2 tem matriz 1201, de determinante 1 · 1 − 2 · 0 = 1: a imagem da casa fica inclinada e tem a mesma área da casa.
  • A reflexão em relação à reta y = x tem matriz 0110, de determinante 0 · 0 − 1 · 1 = −1: a área não muda, e a orientação se inverte.
  • A projeção ortogonal sobre o eixo x tem matriz 1000, de determinante 1 · 0 − 0 · 0 = 0: a imagem da casa é um segmento do eixo x.

Na bancada: os blocos det A e Área, no quadro A matriz canônica de T, mostram o determinante e o fator de área da transformação montada. No painel O que mostrar, marque Quadrado unitário e a sua imagem para ver o paralelogramo de lados T(e1) e T(e2).

A matriz de uma transformação linear também existe fora de ℝ2: os polinômios de grau no máximo n formam um espaço vetorial, e a derivada é uma transformação linear desse espaço.

A matriz da derivada

Um polinômio p de grau no máximo n, na variável t, tem coeficientes a0, a1, …, an e se escreve p(t) = a0 + a1t + ⋯ + antn. Na base formada pelos polinômios 1, t, t2, …, tn, as coordenadas de p são esses coeficientes: o vetor (a0, …, an)T de ℝn+1.

A matriz da derivada nessa base se escreve D. Como na matriz canônica, cada coluna de D é o vetor de coordenadas da imagem de um vetor da base: a coluna correspondente a tj é o vetor de coordenadas da derivada (tj)′ = jtj−1, para j = 1, …, n, e a coluna correspondente a 1 é nula.

Exemplo

Para n = 3, as derivadas de 1, t, t2, t3 são 0, 1, 2t, 3t2. Os vetores de coordenadas delas são as colunas de

D = 0100002000030000.

Para p(t) = t3 − t, de coordenadas (0, −1, 0, 1)T, o produto

D(0, −1, 0, 1)T = (−1, 0, 3, 0)T

é o vetor de coordenadas de p′(t) = 3t2 − 1.

Propriedades de D

  • O espaço nulo de D é formado pelos polinômios constantes: Dp = 0 exatamente quando p′(t) = a1 + 2a2t + ⋯ + nantn−1 é o polinômio nulo, isto é, quando a1 = ⋯ = an = 0. Na matriz, isso aparece na primeira coluna, que é nula porque a derivada de 1 é 0. D tem n + 1 colunas e posto n.
  • Dn+1 = 0: cada derivada diminui em 1 o grau de um polinômio não constante e leva as constantes no polinômio nulo, então n + 1 derivadas levam qualquer polinômio de grau no máximo n no polinômio nulo.
  • A integral de 0 a t leva p no polinômio cujo valor em cada t é a integral de p de 0 a t. Ela também é linear e aumenta o grau em 1; a matriz dela se escreve J e tem n + 2 linhas e n + 1 colunas. A integral desfaz a derivada só de um lado: DJp = p para todo p, mas JDp = p − p(0). O motivo é que a derivada leva o termo constante a0 = p(0) no polinômio nulo, e a integral de 0 a t vale 0 em t = 0.

Na bancada: na parte Em dimensão n, escolha a operação no painel Operação e arraste as barras pretas do quadro Os coeficientes. O quadro A matriz da operação mostra a matriz da operação escolhida: D, J, DJ, JD ou a potência Dk. Na potência, o número k de derivadas é escolhido no controle Número k de derivadas.

Para pensar

Existe uma transformação linear T: ℝ2 → ℝ2 que leve os vetores e1 e e2 da base canônica em T(e1) = (1, 1)T e T(e2) = (2, 2)T e que tenha T(e1 + e2) = (3, 4)T?

Não. Pela linearidade, T(e1 + e2) = T(e1) + T(e2) = (3, 3)T, que é diferente de (3, 4)T. Escolhidas as imagens dos vetores de uma base, a imagem de qualquer outro vetor fica determinada.

Uma transformação linear de ℝ2 pode levar o quadrado unitário, cujos vértices são a origem e as pontas de e1, e1 + e2 e e2, num triângulo?

Não. Seja T a transformação e A a matriz canônica dela. A imagem do quadrado unitário é a figura cujos vértices são a origem e as pontas de T(e1), T(e1) + T(e2) e T(e2). Se det A ≠ 0, essa figura é um paralelogramo de área |det A| > 0, com quatro vértices distintos e lados opostos paralelos. Se det A = 0, ela fica contida numa reta que passa pela origem e é um segmento ou um ponto. Em nenhum dos casos é um triângulo.

A matriz D da derivada nos polinômios de grau no máximo n tem inversa?

Não. D leva todo polinômio constante no polinômio nulo, então o espaço nulo de D não é {0}, e uma matriz invertível só leva o vetor nulo no vetor nulo. A integral de 0 a t, de matriz J, recupera um polinômio p apenas a menos do termo constante: JDp = p − p(0). Outra forma de ver: Dn+1 = 0, e nenhuma potência de uma matriz invertível é a matriz nula.