Centro de Informática · UFPE Álgebra Vetorial e LinearCIN0138 · 2026.2
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Aula 11 · 22/10 (qui) · Módulo 2 · laboratório

Transformações lineares II

Nesta aula você estuda a composição de transformações lineares e a matriz de uma transformação linear numa base qualquer. Se T e S são transformações lineares de ℝn em ℝn, com matrizes canônicas A e C, a composição S∘T, que aplica primeiro T e depois S, tem matriz canônica CA. Na bancada, você compõe rotações, reflexões e projeções do plano nas duas ordens e acompanha a imagem do desenho de uma casa; depois, escreve a matriz de uma transformação numa outra base e procura uma base em que essa matriz seja diagonal.

Parte da bancada

Primeiro T, depois S

Para mostrar o que as transformações fazem com uma figura, o quadro desenha uma casa, com a porta do lado esquerdo e a janela do lado direito. O contorno cinza tracejado é a casa original. O contorno azul é a imagem da casa pela primeira transformação, T, e a casa colorida é a imagem pela composição S∘T, que aplica T e depois a segunda transformação, S. A ponta do vetor x pode ser arrastada; as setas tracejadas vão de x até T(x) e de T(x) até S(T(x)).

Primeiro S, depois T

A mesma casa e as mesmas transformações T e S, escolhidas nos painéis Primeira transformação: T e Segunda transformação: S, aplicadas na outra ordem. O contorno âmbar é a imagem da casa por S, e a casa colorida é a imagem pela composição T∘S, que aplica S e depois T. Nos dois quadros, a reta de uma reflexão ou de uma projeção ortogonal aparece tracejada, na cor da transformação: azul para T e âmbar para S.

As matrizes das duas composições

Exemplos

Primeira transformação: T

A matriz acima é a matriz canônica A de T. As entradas podem ser inteiros, frações como 1/2 ou decimais como 0,5; ao digitar uma entrada, o tipo passa a ser Matriz digitada.

Segunda transformação: S

A matriz acima é a matriz canônica C de S.

Animação e opções

O botão Animar as duas ordens leva a casa, nos dois quadros, da posição original até a imagem pela transformação que age primeiro naquele quadro e, em seguida, até a imagem pela composição. A opção Mostrar a projeção ortogonal de x sobre a reta da reflexão vale nos quadros em que a transformação que age primeiro é uma reflexão. Ela marca o ponto Px, a projeção ortogonal do vetor x sobre a reta da reflexão, e o segmento que vai de x até a imagem de x pela reflexão. Esse segmento é perpendicular à reta, e o ponto Px é o ponto médio dele. Pelo teclado: clique no quadro Primeiro T, depois S ou no quadro Primeiro S, depois T e use as setas para mover o vetor x.

Em dimensão n

Filtros de sinais e de imagens

Um sinal com n amostras é um vetor x = (x1, …, xn)T de ℝn. Deslocar as amostras, tirar a média de amostras vizinhas e tirar a diferença entre amostras vizinhas são transformações lineares de ℝn em ℝn, representadas por matrizes n × n. Transformações como essas se chamam filtros lineares. Aplicar um filtro depois do outro é compor essas transformações, e a matriz da composição é o produto das matrizes, com a do primeiro filtro à direita. Uma imagem em tons de cinza é uma matriz, e o mesmo filtro pode agir sobre as suas colunas e sobre as suas linhas.

O sinal x e o sinal filtrado Fx

As barras tracejadas são as amostras do sinal x e podem ser arrastadas. O filtro montado no painel O filtro F tem matriz F, e as barras vermelhas são as amostras do sinal filtrado Fx. O sinal é circular: a amostra seguinte à última é a primeira. Abaixo das barras, a cadeia mostra os filtros na ordem em que agem e o produto F.

A matriz F

Uma imagem 24 × 24

Imagem original X: clique ou arraste para pintar

Sinal x

O filtro F

Imagem

Conceitos da aula

Composição e mudança de base

Uma guia por conceito, cada um com a definição, um exemplo resolvido e o lugar da bancada em que ele aparece. A notação é a do livro-texto (seção 2.6).

Aplicar uma transformação linear e, em seguida, outra define uma nova transformação, a composição das duas. A matriz canônica da composição é o produto das matrizes canônicas, com a matriz da primeira transformação à direita.

Composição de transformações lineares

Definição

Sejam T: ℝn → ℝm e S: ℝm → ℝp transformações lineares. A composição de S com T é a função S∘T: ℝn → ℝp definida por

(S∘T)(x) = S(T(x))   para todo x ∈ ℝn.

Primeiro se aplica T, depois S. A composição está definida porque T(x) pertence a ℝm, o domínio de S.

Teorema

Se A, de tamanho m × n, é a matriz canônica de T e C, de tamanho p × m, é a matriz canônica de S, então S∘T é uma transformação linear, e a sua matriz canônica é o produto CA, de tamanho p × n.

Por quê. Para todo x ∈ ℝn,

(S∘T)(x) = S(Ax) = C(Ax) = (CA)x,

pela associatividade do produto de matrizes (Aula 4). Assim, S∘T é a multiplicação pela matriz CA, e toda função dada pela multiplicação por uma matriz é linear. A coluna j da matriz canônica de S∘T é a imagem do j-ésimo vetor da base canônica, (S∘T)(ej) = (CA)ej, que é a coluna j de CA. Logo a matriz canônica de S∘T é CA. A matriz A, da transformação que se aplica primeiro, fica à direita, junto de x.

Quando T e S são transformações do plano, A e C são matrizes 2 × 2, e a conta direta mostra que o determinante do produto é o produto dos determinantes: det(CA) = det C · det A. Essa igualdade tem uma leitura geométrica, vista na Aula 10: T multiplica as áreas por |det A|, S multiplica as áreas por |det C|, e a composição inverte a orientação quando exatamente uma das duas a inverte. A Aula 14 prova a igualdade para matrizes de qualquer tamanho.

A ordem importa

Quando T e S vão de ℝn em ℝn, as duas composições existem, com matrizes canônicas CA e AC. Em geral, CA ≠ AC, e então S∘T ≠ T∘S: aplicar T e depois S não é o mesmo que aplicar S e depois T.

Exemplo

Seja T o cisalhamento na direção x de fator 1 e seja S a rotação de 90° no sentido anti-horário. As matrizes canônicas são

A = 1101,   C = 0−110.

As matrizes canônicas de S∘T e de T∘S são

CA = 0−111,   AC = 1−110.

Elas são diferentes. Por exemplo, para o primeiro vetor da base canônica, e1 = (1, 0)T, temos (S∘T)(e1) = S(e1) = e2, que é a primeira coluna de CA, enquanto (T∘S)(e1) = T(e2) = (1, 1)T, que é a primeira coluna de AC. Nos dois casos, o determinante é det C · det A = 1 · 1 = 1: nem o cisalhamento nem a rotação mudam áreas.

Na bancada: no quadro Parte da bancada, escolha a opção Composição e, no painel Exemplos, o exemplo Cisalhamento e rotação. O quadro Primeiro T, depois S mostra a imagem da casa por S∘T, e o quadro Primeiro S, depois T, a imagem por T∘S. O quadro As matrizes das duas composições mostra os produtos CA e AC.

A composição de duas rotações do plano é uma rotação, e a composição de duas reflexões também é uma rotação, contando a identidade como a rotação de 0°. Em cada caso, o produto das matrizes dá o ângulo do resultado. A notação é a da Aula 10. A matriz da rotação de ângulo θ no sentido anti-horário se escreve Qθ, e as suas colunas são (cos θ, sen θ)T e (−sen θ, cos θ)T. A matriz da reflexão em relação à reta que passa pela origem e faz ângulo α com o eixo x se escreve Hα, e a matriz da projeção ortogonal sobre essa reta se escreve Pα.

Duas rotações

Teorema

Para quaisquer ângulos θ e φ, QφQθ = Qθ+φ: a rotação de ângulo θ seguida da rotação de ângulo φ é a rotação de ângulo θ + φ. Em particular, QφQθ = QθQφ, e Q−θ é a inversa de Qθ.

Por quê. A primeira coluna de QφQθ é Qφ(cos θ, sen θ)T, cujas coordenadas são, pelas fórmulas do cosseno e do seno da soma,

cos φ cos θ − sen φ sen θ = cos(θ + φ),

sen φ cos θ + cos φ sen θ = sen(θ + φ).

Logo a primeira coluna de QφQθ é a primeira coluna de Qθ+φ, e a segunda coluna se verifica do mesmo modo. Como θ + φ = φ + θ, duas rotações do plano comutam, e Q−θQθ = Q0 = I.

Exemplo

A rotação de 60° seguida da rotação de 30° é a rotação de 90°:

Q30°Q60° = Q90° = 0−110.

Por exemplo, a rotação de 60° leva e1 = (1, 0)T em (1/2, √3/2)T, e a rotação de 30° leva esse vetor em Q30°(1/2, √3/2)T = (0, 1)T.

Duas reflexões

Teorema

Para quaisquer ângulos α e β:

  1. Hα = 2Pα − I;
  2. Hα2 = I: refletir duas vezes em relação à mesma reta dá a identidade, e Hα é a sua própria inversa;
  3. HβHα = Q2(β−α): a reflexão em relação à reta de ângulo α seguida da reflexão em relação à reta de ângulo β é a rotação de ângulo 2(β − α), o dobro do ângulo que vai da primeira reta à segunda.

Por quê. (1) A projeção ortogonal Pαx é o vetor da reta tal que x − Pαx é perpendicular à reta. A reflexão leva x ao vetor simétrico a ele em relação à reta, e o ponto médio do segmento de x até Hαx é Pαx. Logo Hαx = x + 2(Pαx − x) = 2Pαx − x para todo x. (2) O vetor Pαx já pertence à reta, e a projeção leva cada vetor da reta nele mesmo. Assim, projetar duas vezes dá o mesmo que projetar uma vez, Pα2 = Pα, e então

Hα2 = 4Pα2 − 4Pα + I = I.

(3) Como Hα tem colunas (cos 2α, sen 2α)T e (sen 2α, −cos 2α)T (Aula 10), a primeira coluna de HβHα tem coordenadas

cos 2β cos 2α + sen 2β sen 2α = cos 2(β − α),

sen 2β cos 2α − cos 2β sen 2α = sen 2(β − α),

e a segunda coluna se verifica do mesmo modo. Cada reflexão inverte a orientação, pois det Hα = −cos2 2α − sen2 2α = −1. A composição de duas reflexões tem determinante (−1)(−1) = 1 e preserva a orientação. Na ordem contrária, HαHβ = Q2(α−β), que é a inversa de Q2(β−α): a rotação pelo mesmo ângulo, no sentido contrário. As duas composições só coincidem quando 4(β − α) é múltiplo de 360°, isto é, quando as retas coincidem ou são perpendiculares.

Exemplo

A reflexão em relação à reta y = x (α = 45°) seguida da reflexão em relação ao eixo y (β = 90°):

H90°H45° = −10010110 = 0−110.

O resultado é Q90°, a rotação de 2 · (90° − 45°) = 90° no sentido anti-horário. Na ordem contrária, H45°H90° = Q−90°, a rotação de 90° no sentido horário.

Na bancada: no painel Exemplos, escolha Duas rotações, Duas reflexões e A mesma reflexão duas vezes, e mude os ângulos nos painéis Primeira transformação: T e Segunda transformação: S. Quando a transformação que age primeiro num quadro é uma reflexão, a opção Mostrar a projeção ortogonal de x sobre a reta da reflexão, do painel Animação e opções, desenha o vetor x, a sua projeção Px sobre a reta e o segmento até a imagem 2Px − x. Essa opção começa marcada.

A base canônica não é a única base de ℝn. As coordenadas de um vetor em outra base são, em geral, diferentes, e se calculam com a inversa da matriz cujas colunas são os vetores dessa base.

O vetor de coordenadas

Definição

Seja B = {b1, …, bn} uma base de ℝn, com os vetores tomados nessa ordem. Todo x ∈ ℝn se escreve de um único modo como x = λ1b1 + ⋯ + λnbn (Aula 7). Os escalares λ1, …, λn são as coordenadas de x na base B, e

[x]B = (λ1, …, λn)T

é o vetor de coordenadas de x na base B. Na base canônica, o vetor de coordenadas de x é o próprio x.

Teorema

A matriz n × n cujas colunas são b1, …, bn, nessa ordem, também se escreve B. Então B é invertível e, para todo x ∈ ℝn,

x = B[x]B   e   [x]B = B−1x.

Por quê. A igualdade x = λ1b1 + ⋯ + λnbn diz que x é a combinação linear das colunas de B com os coeficientes λ1, …, λn, isto é, x = B[x]B. As n colunas de B são linearmente independentes, então B tem posto n e é invertível. Multiplicando x = B[x]B por B−1 à esquerda, obtemos [x]B = B−1x.

Um exemplo no plano

Exemplo

Sejam b1 = (1, 1)T e b2 = (1, −1)T, que formam uma base B de ℝ2. A matriz B tem determinante det B = 1 · (−1) − 1 · 1 = −2, e a fórmula da inversa 2 × 2 dá

B = 111−1,   B−1 = 1/21/21/2−1/2.

Para x = (3, 1)T,

[x]B = B−1x = (2, 1)T,

e de fato

2b1 + 1b2 = (2, 2)T + (1, −1)T = (3, 1)T.

Na bancada: no quadro Parte da bancada, escolha a opção Mudança de base e digite as colunas (1, 1)T e (1, −1)T da matriz B no painel A base B. No quadro A base B no plano, a grade azul é a grade da base B. Leve a ponta de x até (3, 1)T, um cruzamento dessa grade, e confira que x = 2b1 + 1b2. O quadro Nas coordenadas de B desenha [x]B = (2, 1)T, e a leitura abaixo dele mostra a conta [x]B = B−1x.

Uma transformação linear de ℝn em ℝn tem uma matriz em cada base de ℝn. A matriz canônica é a matriz na base canônica. A matriz numa outra base se calcula a partir da matriz canônica e da matriz cujas colunas são os vetores dessa base.

A matriz de T na base B

Definição

Sejam T: ℝn → ℝn uma transformação linear e B = {b1, …, bn} uma base de ℝn. A matriz de T na base B é a matriz de tamanho n × n cuja coluna j é [T(bj)]B, o vetor de coordenadas de T(bj) na base B, para j = 1, …, n. Ela se escreve [T]B.

Teorema

Se A é a matriz canônica de T e B é a matriz cujas colunas são b1, …, bn, então

[T]B = B−1AB,

e [T(x)]B = [T]B[x]B para todo x ∈ ℝn.

Por quê. Multiplique um vetor de coordenadas [x]B pelo produto B−1AB, fazendo as contas da direita para a esquerda:

  1. B[x]B = x, pelo teorema da guia Coordenadas numa base;
  2. Ax = T(x), porque A é a matriz canônica de T;
  3. B−1T(x) = [T(x)]B, de novo pelo teorema da guia Coordenadas numa base.

Assim, B−1AB[x]B = [T(x)]B para todo x. Com x = bj, cujo vetor de coordenadas é o j-ésimo vetor da base canônica, ej, a coluna j de B−1AB é B−1ABej = [T(bj)]B, que é a coluna j de [T]B. Logo [T]B = B−1AB.

Na base canônica, B = I e [T]B = A. Em outra base, a matriz em geral é diferente, mas dois números não mudam: o traço e, com n = 2, o determinante. O traço de uma matriz quadrada é a soma das entradas da sua diagonal.

  • O determinante, com n = 2. Para matrizes 2 × 2, a conta direta mostra que o determinante de um produto é o produto dos determinantes, e a fórmula da inversa dá det B−1 = 1/det B. Logo det(B−1AB) = det B−1 · det A · det B = det A. A Aula 14 estende essa conta a matrizes de qualquer tamanho.
  • O traço. O traço de um produto de duas matrizes n × n não depende da ordem dos fatores: nas duas ordens, ele é a soma dos produtos da entrada (i, j) de uma das matrizes pela entrada (j, i) da outra, para todos os pares de índices i e j. Com os fatores B−1 e AB, o traço de B−1(AB) é igual ao traço de (AB)B−1 = A.

Um exemplo no plano

Exemplo

Seja T a transformação linear que leva x = (x1, x2)T em T(x) = (2x1 + x2, x1 + 2x2)T, de matriz canônica A = 2112, e seja B a base formada por b1 = (1, 1)T e b2 = (1, −1)T, do exemplo da guia Coordenadas numa base. Como

T(b1) = (3, 3)T = 3b1 + 0b2,

T(b2) = (1, −1)T = 0b1 + 1b2,

as colunas de [T]B são (3, 0)T e (0, 1)T, e o produto B−1AB confirma:

[T]B = B−1AB = 3001.

Para x = (3, 1)T, com [x]B = (2, 1)T, a matriz [T]B dá [T(x)]B = (6, 1)T. De fato, T(x) = (7, 5)T = 6b1 + 1b2. As duas matrizes, A e [T]B, têm determinante 3 e traço 4.

Na bancada: na opção Mudança de base, escolha o exemplo Matriz simétrica no painel Exemplos e digite as colunas (1, 1)T e (1, −1)T no painel A base B, ou arraste as pontas de b1 e b2 no quadro A base B no plano. O quadro A matriz de T na base B mostra o produto B−1AB, e os blocos Traço e Determinante mostram o traço e o determinante de A. Confira, na matriz [T]B desse produto, que eles não mudam com a base.

Para algumas transformações lineares T de ℝn em ℝn, existe uma base em que a matriz de T é diagonal. Nas coordenadas dessa base, T multiplica cada coordenada por um escalar.

Quando [T]B é diagonal

Teorema

Sejam T: ℝn → ℝn uma transformação linear e B = {b1, …, bn} uma base de ℝn. A matriz [T]B é diagonal, com os escalares μ1, …, μn na diagonal, se, e somente se,

T(bj) = μjbj   para j = 1, …, n.

Por quê. O j-ésimo vetor da base canônica se escreve ej. A coluna j de [T]B é [T(bj)]B, e a coluna j de uma matriz diagonal com μ1, …, μn na diagonal é μjej. As duas colunas são iguais exatamente quando T(bj) = 0b1 + ⋯ + μjbj + ⋯ + 0bn = μjbj.

Numa base B em que [T]B é diagonal, se [x]B = (λ1, …, λn)T, então [T(x)]B = (μ1λ1, …, μnλn)T: T multiplica a coordenada j por μj. Procurar uma base assim é procurar n vetores v linearmente independentes tais que T(v) é múltiplo de v, isto é, T(v) pertence à reta gerada por v. Esses vetores são o assunto da Aula 16.

Exemplos no plano

  • Projeção ortogonal e reflexão. Seja b1 um vetor não nulo de uma reta que passa pela origem, e seja b2 um vetor não nulo perpendicular a essa reta. Os dois formam uma base de ℝ2. A projeção ortogonal sobre a reta leva b1 em b1 e b2 no vetor nulo, e a reflexão em relação à reta leva b1 em b1 e b2 em −b2. Nessa base, a matriz da projeção é 1000, e a da reflexão é 100−1.
  • Vetores que não são perpendiculares. Os vetores da base não precisam ser perpendiculares. Se a matriz canônica de T é A = 3102, então T(e1) = 3e1. Se e1 é um dos vetores da base, o outro não pode ser perpendicular a e1: os vetores perpendiculares a e1 são os múltiplos de e2, e T(e2) = (1, 2)T não é múltiplo de e2. A sexta missão do roteiro pede esse outro vetor.
  • A rotação de 90° não tem uma base assim. A rotação de 90° no sentido anti-horário leva v = (v1, v2)T em T(v) = (−v2, v1)T. Se T(v) = μv para algum escalar μ, então −v2 = μv1 e v1 = μv2. Daí v1 = −μ2v1, ou seja, (1 + μ2)v1 = 0. Como 1 + μ2 > 0, segue que v1 = 0 e v2 = −μv1 = 0. Nenhum vetor não nulo tem imagem múltipla dele, e por isso nenhuma base torna a matriz diagonal.

Exemplo

Seja T a reflexão em relação à reta y = x, que faz 45° com o eixo x. Com a notação da guia Rotações e reflexões, a sua matriz canônica é H45° = 0110. Na base B formada por b1 = (1, 1)T, sobre a reta, e b2 = (1, −1)T, perpendicular a ela,

T(b1) = b1,   T(b2) = (−1, 1)T = −b2,

logo

[T]B = B−1H45°B = 100−1.

Nessa base, a reflexão mantém a primeira coordenada e troca o sinal da segunda.

Na bancada: na opção Mudança de base, marque Mostrar as retas dos vetores v com T(v) múltiplo de v no painel A base B. Quando esses vetores existem, o quadro A base B no plano desenha retas tracejadas que passam pela origem e são formadas por eles. Arraste b1 e b2 até que apareça um círculo verde em torno de cada um deles, sem deixar os dois na mesma reta: o bloco Matriz na base B passa a indicar Diagonal. Com o exemplo Rotação de 90°, nenhuma reta aparece.

Um filtro linear de sinais de n amostras é uma transformação linear de ℝn em ℝn: cada amostra do sinal filtrado é uma combinação linear das amostras do sinal original. Compor filtros é multiplicar as suas matrizes.

Três filtros circulares

Definição

Um sinal circular de n amostras é um vetor x = (x1, …, xn)T de ℝn cujos índices são contados de forma circular: x0 indica xn, e xn+1 indica x1. Assim, a amostra seguinte a xn é x1. Para i = 1, …, n, a amostra i do sinal filtrado é:

  • xi−1, no deslocamento K, que leva (x1, …, xn)T em (xn, x1, …, xn−1)T;
  • (xi−1 + xi + xi+1)/3, na média M de três amostras vizinhas;
  • xi − xi−1, na diferença D.

Os três filtros são transformações lineares de ℝn em ℝn, e indicamos as suas matrizes pelas mesmas letras. A matriz K do deslocamento é uma matriz de permutação: as suas linhas são as linhas da identidade em outra ordem. Por isso K−1 = KT (Aula 5), e essa matriz desloca as amostras uma posição para a esquerda. Além disso, Kn = I, porque n deslocamentos levam cada amostra de volta à sua posição. Os outros dois filtros se escrevem com potências de K:

M = (K−1 + I + K)/3,   D = I − K.

Aplicar um filtro e depois outro é compor as transformações, e a matriz da composição é o produto, com a matriz do primeiro filtro à direita. Como M e D são combinações lineares de potências de K, e as potências de K comutam entre si, os três filtros comutam: por exemplo, MD = DM.

Imagens. Uma imagem em tons de cinza com 24 × 24 pixels é representada por uma matriz X de tamanho 24 × 24: a entrada da linha i e da coluna j é o tom do pixel nessa posição, de 0 (branco) a 1 (preto). Seja F a matriz de um filtro para sinais de 24 amostras. Filtrar cada coluna de X é calcular FX, porque a coluna j de FX é F vezes a coluna j de X. Uma linha de X se escreve wT, com w ∈ ℝ24. Filtrá-la é calcular Fw e escrever o resultado de novo como linha, (Fw)T = wTFT. Por isso, filtrar cada linha de X é calcular XFT. A imagem filtrada nas colunas e depois nas linhas se escreve Y, e Y = (FX)FT = FXFT.

A coluna de um filtro

O impulso ej é o sinal com a amostra j igual a 1 e as outras nulas, isto é, o j-ésimo vetor da base canônica de ℝn. O produto de uma matriz por ej é a coluna j dessa matriz (Aula 10). Assim, se F é a matriz de um filtro, a coluna j de F é Fej, o sinal filtrado do impulso ej.

Exemplo

Com n = 6, a coluna 4 de M e a coluna 4 de D são

Me4 = (0, 0, 1/3, 1/3, 1/3, 0)T,

De4 = (0, 0, 0, 1, −1, 0)T.

Aplicando os dois filtros nas duas ordens,

DMe4 = (0, 0, 1/3, 0, 0, −1/3)T = MDe4,

como esperado, pois MD = DM.

Na bancada: na seção Em dimensão n, acima destes conceitos, acrescente filtros com os botões do painel O filtro F e veja a matriz no quadro A matriz F. Com o sinal Impulso, escolhido no painel Sinal x, as barras vermelhas do quadro O sinal x e o sinal filtrado Fx mostram a coluna de F de mesmo índice que a amostra igual a 1. No quadro Uma imagem 24 × 24, pinte a imagem e escolha, no painel Imagem, se o filtro age nas colunas, nas linhas ou nas duas.

Para pensar

Considere as retas que passam pela origem e fazem ângulos de 30° e de 75° com o eixo x. Que transformação é a reflexão em relação à primeira reta seguida da reflexão em relação à segunda? E na ordem contrária?

Com a notação da guia Rotações e reflexões, a reflexão em relação à reta de 30° seguida da reflexão em relação à reta de 75° tem matriz H75°H30° = Q90°: é a rotação de 2 · (75° − 30°) = 90° no sentido anti-horário. Na ordem contrária, H30°H75° = Q−90°, a rotação de 90° no sentido horário. As duas composições são inversas uma da outra, pois (H75°H30°)(H30°H75°) = H75°(H30°H30°)H75° = H75°H75° = I, e são diferentes, porque Q90° ≠ Q−90°.

Seja T uma transformação linear do plano, de matriz canônica A. Se a matriz de T numa base B de ℝ2 é diagonal, com μ1 e μ2 na diagonal, quanto vale det A?

det A = μ1μ2. A matriz cujas colunas são os vetores da base também se escreve B. Para matrizes 2 × 2, a conta direta mostra que o determinante de um produto é o produto dos determinantes, e a fórmula da inversa dá det B−1 = 1/det B. Então det [T]B = det(B−1AB) = det B−1 · det A · det B = det A, e o determinante da matriz diagonal [T]B é μ1μ2 − 0 · 0 = μ1μ2. Do mesmo modo, como o traço não muda com a base (guia Matriz numa base), o traço de A é μ1 + μ2.

Por que, para sinais de n = 6 amostras, a média M de três amostras vizinhas não pode ser desfeita?

Porque M leva um sinal não nulo no vetor nulo. O sinal x = (1, −1, 0, 1, −1, 0)T tem soma zero em cada grupo de três amostras vizinhas, contadas de forma circular, logo Mx = 0 = M0. Dois sinais diferentes têm a mesma imagem, e nenhum filtro recupera o sinal a partir da média. Em outras palavras, o espaço nulo N(M) não é {0}, e M não tem inversa. Em geral, se Mx = 0, então xi+1 = −xi−1 − xi para todo i. A mesma igualdade, com i + 1 no lugar de i, dá xi+2 = xi−1: o sinal se repete a cada três amostras. Se n não é múltiplo de 3, um sinal circular que se repete a cada três amostras é constante, e um sinal constante com Mx = 0 é nulo. Assim, um sinal não nulo com Mx = 0 só existe quando n é múltiplo de 3.