Centro de Informática · UFPE Álgebra Vetorial e LinearCIN0138 · 2026.2
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Aula 14 · 17/11 (ter) · Módulo 4 · laboratório

Determinantes I

Nesta aula você estuda o determinante de uma matriz quadrada A, que se escreve det A e é definido por três propriedades: o determinante da identidade é 1, a troca de duas linhas muda o sinal, e o determinante é linear em cada linha separadamente. Delas decorrem as outras propriedades, como det AT = det A, a regra do produto det(AB) = det A · det B, para B do mesmo tamanho que A, e o fato de que det A = 0 se, e somente se, A é singular. Na bancada, você vê det A como a área com sinal do paralelogramo das colunas de A (para A de tamanho 2 × 2) e como o volume com sinal do paralelepípedo das colunas (para A de tamanho 3 × 3), testa cada propriedade num experimento que mostra a matriz antes e depois de uma operação e, para matrizes n × n, calcula o determinante pelos pivôs da eliminação.

Colunas de A

As colunas a1 e a2 da matriz A do painel Matriz A, cujas pontas podem ser arrastadas, e o paralelogramo de lados a1 e a2, que é a imagem do quadrado unitário tracejado pela transformação x ↦ Ax. A área desse paralelogramo, tomada com sinal + quando o menor giro de a1 até a2 é anti-horário e com sinal − quando é horário, se chama área com sinal e é igual a det A (guia Área e volume). Dentro do quadrado está a letra F, em cinza claro. A imagem dela pela mesma transformação, em cinza escuro, aparece espelhada quando det A < 0.

Linhas de A

As linhas da matriz A, que se escrevem L1 e L2, desenhadas como vetores de ℝ2, com pontas que podem ser arrastadas, e o paralelogramo de lados L1 e L2. As linhas de A são as colunas da transposta AT. Por isso, a área com sinal deste paralelogramo, definida como no quadro Colunas de A, é det AT.

Antes e depois

Escolha um experimento no painel Experimentos e clique em Aplicar. Este quadro mostra a matriz A antes da operação e a matriz obtida depois dela, com os seus determinantes.

Experimentos

Exemplos

Matriz A

As entradas podem ser inteiros, frações como 3/2 ou decimais como 0,5. Arrastar as pontas das colunas, no quadro Colunas de A, ou das linhas, no quadro Linhas de A, também muda A.

O que mostrar

Nos quadros Colunas de A e Linhas de A, o paralelogramo (ou o paralelepípedo) é vermelho quando det A > 0, azul quando det A < 0 e cinza quando det A = 0. No quadro Colunas de A, a seta curva perto da origem vai da coluna a1 até a coluna a2 pelo menor ângulo. No quadro Linhas de A, ela vai da linha L1 até a linha L2.

Pelo teclado, clique numa figura e use as setas para mover a ponta escolhida. A barra de espaço passa para a ponta seguinte, e a tecla Esc solta a ponta escolhida. Nas figuras de ℝ3, arraste o fundo para girar a vista. Pelo teclado, as setas giram a vista quando nenhuma ponta está escolhida, e as teclas + e − aproximam ou afastam a vista.

Em dimensão n

O determinante pelos pivôs

Para uma matriz A de tamanho n × n, o determinante pode ser calculado pela eliminação. Cada troca de linhas muda o sinal do determinante, e subtrair de uma linha um múltiplo de outra não o muda. Suponha que a eliminação faça k trocas de linhas e encontre n pivôs, que se escrevem p1, …, pn. Então a matriz do fim é triangular superior, com os pivôs na diagonal, e det A = (−1)kp1p2 ⋯ pn. Se falta um pivô, det A = 0. Nesta parte, você acompanha a eliminação coluna por coluna, confere que det(λA) = λn det A para todo escalar λ e compara o custo da eliminação com o da fórmula do determinante com n! termos.

A durante a eliminação

Pivôs e sinal

Os pivôs encontrados até o passo atual, em barras. O pivô da coluna j se escreve pj, e a barra pj vai de 0 até o valor dele: é vermelha quando ele é positivo e azul quando é negativo. Os blocos abaixo mostram o número de trocas de linhas e o produto dos pivôs encontrados até o passo atual.

Quanto custa calcular det A

Para cada ordem n de 1 a 20, o número de operações de cada método, em escala logarítmica: cada linha horizontal da grade vale 1000 vezes a de baixo. A curva preta conta as multiplicações e divisões da eliminação, cerca de n3/3. A curva vermelha conta os n! termos da fórmula do determinante, estudada na Aula 15. A reta vertical tracejada marca a ordem escolhida no controle Ordem n no gráfico, do painel Custo. O ponto azul é o número de multiplicações e divisões que a eliminação fez na matriz do quadro A durante a eliminação.

A matriz

As matrizes são sorteadas com entradas inteiras. A do tipo Sem trocas é invertível, e a eliminação dela não precisa trocar linhas. A do tipo Com trocas é invertível e tem cerca de metade das entradas nulas; por isso, em geral, a eliminação dela precisa trocar linhas. A do tipo Singular tem colunas linearmente dependentes. A do tipo Triangular já é triangular superior, com as entradas da diagonal não nulas.

Escalar λ

Custo

Na eliminação de uma matriz n × n, contam-se as divisões, que dão os multiplicadores ℓ, e as multiplicações de um multiplicador por uma entrada da linha do pivô à direita dele. Cada multiplicação é seguida de uma subtração. Quando nenhuma das entradas a zerar já é nula, são (n3 − n)/3 operações, cerca de n3/3; nos outros casos, são menos. A fórmula do determinante da Aula 15 tem um termo para cada permutação de 1, …, n, num total de n! termos, e cada termo é um produto de n entradas, que pede n − 1 multiplicações. O gráfico mostra só o número de termos, n!. A partir de n = 4, ele é maior que n3/3, e a razão entre os dois cresce muito depressa.

Conceitos da aula

O determinante e as suas propriedades

Uma guia por conceito, cada um com a definição ou o teorema, um exemplo resolvido e o lugar da bancada em que ele aparece. A notação e a numeração das propriedades são as do livro-texto (seção 4.2).

Na Aula 10, o determinante da matriz 2 × 2 de linhas (a, b) e (c, d) apareceu como o escalar ad − bc. Para matrizes quadradas de qualquer tamanho, o livro-texto define o determinante por três propriedades, e todas as outras decorrem delas.

O determinante

Definição

Para cada inteiro n ≥ 1, o determinante é a função que associa a cada matriz A de tamanho n × n um escalar, que se escreve det A, e que tem as três propriedades a seguir. Nelas, as linhas de A, vistas como vetores linha de ℝn, se escrevem L1, …, Ln.

  1. A matriz identidade de tamanho n × n, que se escreve I, tem det I = 1.
  2. Se B é obtida de A pela troca de duas linhas, então det B = −det A.
  3. O determinante é linear em cada linha separadamente: para cada i ∈ {1, …, n}, fixadas as outras n − 1 linhas, det A é uma função linear da linha i. Isto é, para quaisquer vetores linha u, v ∈ ℝn e quaisquer escalares λ, μ ∈ ℝ, vale a igualdade abaixo. Nela, as três matrizes têm as mesmas linhas que A, exceto a linha i, escrita no meio, que é λu + μv na primeira matriz, u na segunda e v na terceira:

    det L1⋮λu + μv⋮Ln = λ det L1⋮u⋮Ln

    + μ det L1⋮v⋮Ln.

A propriedade 3 tem dois casos muito usados:

  • com μ = 0, multiplicar uma linha pelo escalar λ multiplica o determinante por λ;
  • com λ = μ = 1, se a linha i é a soma u + v, o determinante é a soma dos determinantes das duas matrizes que têm u e v nessa linha e as outras linhas iguais às de A.

A linearidade vale para uma linha de cada vez, com as outras fixas, e não para a matriz inteira: para matrizes A e B de tamanho n × n, em geral det(A + B) ≠ det A + det B (veja Para pensar, no fim desta seção). Já para todo escalar λ, a matriz λA tem as n linhas de A multiplicadas por λ. Aplicando a propriedade 3 a cada uma delas, obtém-se det(λA) = λn det A.

Para cada n, existe exatamente uma função com as três propriedades. A guia Pelos pivôs mostra que não há duas: as propriedades bastam para calcular det A pela eliminação. A existência vem da fórmula do determinante com n! termos, estudada na Aula 15.

Exemplo

A linha 1 de 3614 é 3 vezes (1, 2). Pela propriedade 3,

det 3614 = 3 det 1214,

e as duas contas pela fórmula da Aula 10 conferem: 3 · 4 − 6 · 1 = 6 e 3 · (1 · 4 − 2 · 1) = 6.

De volta ao caso 2 × 2

As três propriedades levam à fórmula ad − bc da Aula 10, para a matriz de linhas (a, b) e (c, d). Como (a, b) = a(1, 0) + b(0, 1), a linearidade na linha 1 dá a primeira igualdade abaixo. A linha 2, (c, d), é a soma de (c, 0) e (0, d), que são múltiplos de (1, 0) e de (0, 1). Por isso, a linearidade na linha 2 dá as outras duas igualdades.

Exemplo

det abcd = a det 10cd + b det 01cd,

det 10cd = c det 1010 + d det 1001,

det 01cd = c det 0110 + d det 0101.

As matrizes 1010 e 0101 têm duas linhas iguais. Trocar essas linhas não muda a matriz, mas, pela propriedade 2, muda o sinal do determinante; logo esse determinante é igual ao seu oposto e, por isso, é 0. Além disso, a matriz 1001 é I, de determinante 1, e 0110 é I com as linhas trocadas, de determinante −1. Assim, as duas últimas igualdades dão d e −c, e a primeira dá

det abcd = ad − bc.

Na bancada: no painel Experimentos, escolha Trocar duas linhas (propriedade 2), Multiplicar uma linha por λ ou Somar um vetor à linha 1 (os dois casos da propriedade 3) e clique em Aplicar. O quadro Antes e depois mostra a matriz e o determinante antes e depois da operação. O exemplo Identidade, no painel Exemplos, mostra a propriedade 1: a imagem do quadrado unitário é ele mesmo, de área 1.

As propriedades 4 a 7, a seguir, são deduzidas apenas das três propriedades da definição. As propriedades 4 e 5 correspondem a experimentos do painel Experimentos da bancada.

Linhas iguais, eliminação, linha nula e matriz triangular

Teorema

Seja A uma matriz n × n. Como na definição, as linhas de A se escrevem L1, …, Ln, e a entrada da linha i e da coluna j se escreve aij.

  1. Se A tem duas linhas iguais, então det A = 0.
  2. Sejam i ≠ j dois índices e ℓ um escalar. Se B é obtida de A subtraindo da linha Li o múltiplo ℓLj da linha Lj, então det B = det A.
  3. Se A tem uma linha nula, então det A = 0.
  4. Se A é triangular (superior ou inferior), então det A é o produto das entradas da diagonal: det A = a11a22 ⋯ ann.

Por quê.

  • (4) Trocar as duas linhas iguais não muda A, mas, pela propriedade 2, muda o sinal do determinante. Logo det A = −det A, e então det A = 0.
  • (5) Seja C a matriz obtida de A substituindo a linha Li por uma cópia de Lj. Pela linearidade na linha i, det B = det A − ℓ det C. Como C tem duas linhas iguais, det C = 0 por (4).
  • (6) A linha nula é o produto do escalar 0 por ela mesma. Pela linearidade nessa linha, com λ = 0, det A = 0 · det A = 0.
  • (7) Suponha A triangular superior; o caso inferior é igual, com as linhas percorridas na ordem contrária. Se as entradas da diagonal são todas não nulas, subtrações como as de (5), feitas da última linha para a primeira, zeram as entradas acima da diagonal sem mudar o determinante. Resta a matriz diagonal D com as mesmas entradas a11, …, ann na diagonal, e a linearidade em cada linha dá det D = a11a22 ⋯ ann det I. Se alguma entrada da diagonal é 0, considere a última linha com 0 na diagonal. As linhas abaixo dela têm entradas não nulas na diagonal, e subtrações como as de (5), feitas com elas, zeram as entradas dessa linha à direita da diagonal. Ela fica nula, e det A = 0 por (6).

Um exemplo

Exemplo

Em A = 2145, subtrair da linha 2 o dobro da linha 1 (isto é, usar ℓ = 2) zera a entrada da posição (2, 1) e, por (5), não muda o determinante:

det 2145 = det 2103.

A segunda matriz é triangular; por (7), o seu determinante é 2 · 3 = 6. A fórmula da Aula 10 confirma: 2 · 5 − 1 · 4 = 6. Já em 1224, subtrair da linha 2 o dobro da linha 1 produz a linha nula; por (5) e (6), o determinante é 0, e de fato 1 · 4 − 2 · 2 = 0.

Para n = 2, a propriedade 5 tem uma leitura geométrica. Subtrair ℓL1 de L2 move a ponta de L2 paralelamente a L1. No paralelogramo de lados L1 e L2, o lado L1, tomado como base, não muda, e a altura relativa a ele também não; por isso, a área não muda. Essa mudança de forma é um cisalhamento, como os da Aula 10.

Na bancada: no painel Experimentos, Copiar a linha 1 na linha 2 mostra a propriedade 4, e Subtrair um múltiplo de uma linha, com o controle Multiplicador ℓ, mostra a propriedade 5. Nesse experimento, no quadro Linhas de A, a ponta da linha L2 anda sobre uma reta paralela a L1, e a área do paralelogramo das linhas não muda. Multiplicar uma linha por λ, com λ = 0, produz uma linha nula e mostra a propriedade 6. Na missão 6 do roteiro, você leva a matriz 2145 à forma triangular.

A eliminação de Gauss, da Aula 3, só troca linhas e subtrai de uma linha múltiplos de outra. Pelas propriedades 2 e 5, cada troca muda o sinal do determinante, e cada subtração não o muda. Por isso, a eliminação também calcula o determinante.

O determinante pelos pivôs

Teorema

Seja A uma matriz n × n, e suponha que a eliminação leve A a uma matriz triangular superior U com k trocas de linhas. Então det A = (−1)k det U. Se A é invertível, a diagonal de U é formada pelos n pivôs p1, …, pn, e

det A = (−1)kp1p2 ⋯ pn,

que é diferente de 0. Se A é singular, U tem uma linha nula, e det A = 0. Em particular:

  1. det A = 0 se, e somente se, A é singular.

Por quê.

  1. Cada troca de linhas muda o sinal do determinante (propriedade 2). Subtrair de uma linha um múltiplo de outra não o muda (propriedade 5). Logo det A = (−1)k det U.
  2. Como U é triangular, det U é o produto das entradas da diagonal de U (propriedade 7).
  3. Se A é invertível, a eliminação encontra n pivôs, todos não nulos, e eles são as entradas da diagonal de U.
  4. Se A é singular, falta pelo menos um pivô, e a última linha de U é nula. Pela propriedade 6, det U = 0.

O teorema também mostra que existe no máximo uma função com as três propriedades da definição: as propriedades 4 a 7 foram deduzidas só delas, e por isso qualquer função com as três propriedades dá, para cada matriz, o mesmo valor que a eliminação.

Um exemplo e o custo

Exemplo

Em A = 021111245, a entrada da posição (1, 1), onde ficaria o primeiro pivô, é 0. Por isso, a eliminação começa trocando as linhas 1 e 2. Em seguida, subtrai da linha 3 o dobro da linha 1 e, depois, subtrai da linha 3 a linha 2. O resultado é a matriz triangular superior

U = 111021002,

com pivôs 1, 2 e 2 e uma troca (k = 1):

det A = (−1)1 · 1 · 2 · 2

= −4.

O custo. Suponha A invertível, de modo que o pivô da coluna j fica na linha j. Na coluna j, cada uma das n − j linhas abaixo do pivô pede uma divisão, que dá o multiplicador ℓ, e n − j multiplicações de ℓ pelas entradas da linha do pivô à direita dele. Cada multiplicação é seguida de uma subtração. Quando nenhuma das entradas a zerar já é nula, o total de multiplicações e divisões é

(n − 1)n + (n − 2)(n − 1) + ⋯ + 1 · 2

= (n3 − n)/3.

Por exemplo, para n = 3, são 2 · 3 + 1 · 2 = 8 = (27 − 3)/3. Para n grande, o total é cerca de n3/3, e multiplicar os pivôs custa mais n − 1 multiplicações. A fórmula do determinante da Aula 15 tem n! termos, e só para formar os termos, que são produtos de n entradas, são (n − 1) · n! multiplicações. Para n pequeno, as duas contas custam pouco, mas n! cresce muito mais depressa que n3/3: para n = 10, a eliminação faz no máximo 330 multiplicações e divisões, e a fórmula tem 10! = 3 628 800 termos.

Na bancada: no painel Experimentos, escolha Eliminação e clique em Aplicar; o quadro Antes e depois mostra A, a matriz triangular U obtida e o número de trocas. Na parte Em dimensão n, o quadro A durante a eliminação faz o mesmo com matrizes de tamanho até 12 × 12, coluna por coluna, e o quadro Quanto custa calcular det A compara n3/3 com n!.

As duas últimas propriedades da seção 4.2 tratam de operações sobre a matriz toda, e não sobre uma linha: o produto de duas matrizes e a transposição.

O determinante do produto e da transposta

Teorema

Para quaisquer matrizes A e B de tamanho n × n:

  1. det(AB) = det A · det B;
  2. det AT = det A.

Em particular, se A é invertível, det A−1 = 1/det A, pois det A · det A−1 = det I = 1.

Por quê (9). Se det B = 0, então B é singular, pela propriedade 8, e existe x ≠ 0 com Bx = 0. Então (AB)x = A(Bx) = 0, a matriz AB também é singular, e os dois lados de (9) valem 0.

Se det B ≠ 0, seja f a função que associa a cada matriz A de tamanho n × n o escalar f(A) = det(AB)/det B. A linha i de AB é a linha i de A vezes B. Por isso, f tem as três propriedades da definição:

  1. f(I) = det B/det B = 1;
  2. trocar duas linhas de A troca as mesmas linhas de AB e, portanto, muda o sinal de f;
  3. a linha i de AB depende linearmente da linha i de A, e o determinante é linear na linha i; logo f é linear em cada linha de A.

Como só existe uma função com as três propriedades (guia Pelos pivôs), f(A) = det A, isto é, det(AB) = det A · det B.

Por quê (10). Se A é singular, AT também é (Aula 5), e os dois determinantes valem 0. Se A é invertível, a Aula 5 mostrou que existem uma matriz de permutação P, uma matriz triangular inferior L, com 1 na diagonal, e uma matriz triangular superior U tais que PA = LU. Aqui, L sem índice é esse fator, e não uma linha de A. Então:

  1. Pela propriedade 9, det P · det A = det L · det U.
  2. Transpondo PA = LU, obtém-se ATPT = UTLT, e a propriedade 9 dá det AT · det PT = det UT · det LT.
  3. As matrizes LT e UT são triangulares, com as mesmas diagonais que L e U. Pela propriedade 7, elas têm os mesmos determinantes que L e U.
  4. A matriz P é a identidade com as linhas permutadas, e por isso det P = ±1 (propriedades 1 e 2). Como PTP = I, a propriedade 9 dá det PT · det P = 1, e então det PT = det P.

Pelos itens 3 e 4, a igualdade do item 2 fica det AT · det P = det U · det L. Comparando com o item 1 e dividindo por det P = ±1, obtém-se det AT = det A.

Como as linhas de AT são as colunas de A, a propriedade 10 faz valer para as colunas tudo o que foi dito sobre as linhas: trocar duas colunas muda o sinal do determinante, o determinante é linear em cada coluna separadamente, e duas colunas iguais dão det A = 0.

Um exemplo

Exemplo

Sejam A = 2−131, com det A = 5, e B = 2001, com det B = 2. O produto é AB = 4−161, e

det(AB) = 4 · 1 − (−1) · 6

= 10,

que é det A · det B = 5 · 2. A transposta AT = 23−11 tem det AT = 2 · 1 − 3 · (−1) = 5, igual a det A, e det A−1 = 1/5.

Geometricamente, para A e B de tamanho 2 × 2 (a área com sinal está definida na guia Área e volume): a transformação x ↦ Bx leva o quadrado unitário no paralelogramo das colunas de B, de área com sinal det B. A transformação x ↦ Ax leva cada paralelogramo de lados u e v no de lados Au e Av e multiplica a área com sinal por det A. Assim, a transformação x ↦ ABx, que aplica primeiro B e depois A, leva o quadrado unitário num paralelogramo de área com sinal det A · det B.

Na bancada: no painel Experimentos, Multiplicar por B à direita substitui A por AB, com B escolhida no controle Matriz B; no quadro Colunas de A, o contorno tracejado é a imagem do quadrado unitário pela transformação x ↦ Bx. O experimento Transpor faz os quadros Colunas de A e Linhas de A trocarem de figura, e o determinante não muda.

O determinante tem um significado geométrico, que a Aula 10 apresentou para matrizes 2 × 2: se A é uma matriz 2 × 2, |det A| é o fator pelo qual a transformação x ↦ Ax multiplica as áreas, e o sinal de det A indica se ela preserva ou inverte a orientação. Esta guia dá a esse significado uma forma precisa, a área com sinal, e o estende a ℝ3.

Área com sinal em ℝ2

Teorema

Seja A uma matriz 2 × 2 de colunas a1 e a2. A área do paralelogramo de lados a1 e a2, que é a imagem do quadrado unitário pela transformação x ↦ Ax, é |det A|. Além disso, det A > 0 quando o menor giro de a1 até a2 é no sentido anti-horário, det A < 0 quando é no sentido horário, e det A = 0 quando a1 e a2 estão numa mesma reta que passa pela origem.

Por quê. Para dois vetores u e v de ℝ2, chame de área com sinal do par (u, v) a área do paralelogramo de lados u e v, tomada com sinal + quando o menor giro de u até v é anti-horário e com sinal − quando é horário. Quando u e v estão numa mesma reta que passa pela origem, a área com sinal é 0. Vista como função da matriz de linhas u e v, a área com sinal tem as três propriedades da definição:

  1. A matriz de linhas e1 e e2, os vetores da base canônica, é I, e o paralelogramo de lados e1 e e2 é o quadrado unitário, de área 1, com menor giro anti-horário de e1 até e2.
  2. Trocar u e v não muda o paralelogramo, mas inverte o sentido do menor giro e, por isso, muda o sinal da área com sinal.
  3. Fixado v ≠ 0, a área com sinal é o comprimento de v vezes a altura com sinal de u: a distância da ponta de u até a reta que passa pela origem e pela ponta de v, com o mesmo sinal da área. Essa altura é o produto escalar de u pelo vetor unitário perpendicular a v que aponta para o lado em que a área com sinal é positiva; por isso, ela é uma função linear de u. Se v = 0, a área com sinal é 0 para todo u. Com u fixo, a linearidade em v segue do item 2.

Pela unicidade (guia Pelos pivôs), a área com sinal do par (u, v) é o determinante da matriz de linhas u e v. Pela propriedade 10, ela também é o determinante da matriz de colunas u e v.

Exemplo

A matriz A = 2−131 tem colunas a1 = (2, 3)T e a2 = (−1, 1)T, e

det A = 2 · 1 − (−1) · 3

= 5.

O paralelogramo de lados a1 e a2 tem área 5, e o menor giro de a1 até a2 é anti-horário. Trocando as duas colunas, a área continua 5, mas o determinante passa a ser −5.

Volume com sinal em ℝ3

Seja A uma matriz 3 × 3 de colunas a1, a2, a3. O volume do paralelepípedo de arestas a1, a2, a3, que é a imagem do cubo unitário pela transformação x ↦ Ax, é |det A|, e essa transformação multiplica todos os volumes por |det A|.

O sinal de det A se lê com o produto vetorial. O produto vetorial de dois vetores u = (u1, u2, u3)T e v = (v1, v2, v3)T de ℝ3 se escreve u × v e é o vetor

u × v = u2v3 − u3v2u3v1 − u1v3u1v2 − u2v1.

Ele é perpendicular a u e a v, o seu comprimento é a área do paralelogramo de lados u e v, e ele é o vetor nulo quando u e v estão numa mesma reta que passa pela origem. Por exemplo, e1 × e2 = e3. Desenvolvendo as contas, obtém-se det A = (a1 × a2) · a3, o produto escalar de a1 × a2 por a3.

Assim, quando a1 e a2 não estão numa mesma reta que passa pela origem, det A > 0 se a3 está do mesmo lado do plano de a1 e a2 que o vetor a1 × a2, e det A < 0 se a3 está do outro lado. No primeiro caso, diz-se que a1, a2, a3 seguem a regra da mão direita, como e1, e2, e3: com os dedos da mão direita curvados de a1 para a2, o polegar aponta para o lado do plano em que está a3. No segundo caso, eles seguem a regra da mão esquerda.

Para n > 3 não há desenho, e |det A| é tomado como a definição do volume n-dimensional do paralelepípedo de arestas a1, …, an. Em qualquer tamanho, det A = 0 se, e somente se, as colunas de A são linearmente dependentes.

Exemplo

A matriz triangular 210021002 tem determinante 2 · 2 · 2 = 8: o paralelepípedo das colunas tem volume 8, e as colunas seguem a regra da mão direita. Em 101011112, a terceira coluna é a soma das duas primeiras: as três colunas estão num plano que passa pela origem, o paralelepípedo das colunas fica contido nesse plano e tem volume 0, e o determinante é 0.

Na bancada: no quadro Colunas de A, arraste as pontas de a1 e a2 e observe a cor do paralelogramo, a seta curva de a1 até a2 e a imagem da letra F, que aparece espelhada quando det A < 0. No controle Tamanho da matriz, do painel Matriz A, escolha 3 × 3, em ℝ3, para ver o paralelepípedo e a seta tracejada na direção do produto vetorial a1 × a2; os exemplos Triangular 3 × 3 e Três colunas num plano, no painel Exemplos, são os desta guia.

Para pensar

Se A é uma matriz quadrada com det A = 4, quanto vale det A−1?

Vale 1/4. Como det A ≠ 0, A é invertível (propriedade 8). A propriedade 9, aplicada a AA−1 = I, dá det A · det A−1 = det I = 1. Geometricamente, a transformação x ↦ A−1x leva cada vetor Ax de volta em x. Se x ↦ Ax multiplica as áreas (ou os volumes) por 4, então x ↦ A−1x as multiplica por 1/4.

Para matrizes A e B de mesmo tamanho, vale det(A + B) = det A + det B?

Em geral, não. O determinante é linear em cada linha separadamente, com as outras linhas fixas; em A + B, todas as linhas mudam ao mesmo tempo. Com A = B = I de tamanho 2 × 2, det(I + I) = det(2I) = 22 = 4, mas det I + det I = 2.

Uma matriz A de tamanho 3 × 3 com AT = −A pode ser invertível?

Não. Use a propriedade 10 e a igualdade det(λA) = λn det A, que vem da propriedade 3, com λ = −1 e n = 3: det A = det AT = det(−A) = (−1)3 det A = −det A. Logo det A = 0, e A é singular. Por exemplo, 012−103−2−30 tem determinante 0. Em tamanho par, o argumento não funciona: 01−10 satisfaz AT = −A e tem determinante 1.