A Curva do Dragão

Como nós dissemos anteriormente, uma das metas originais ao se introduzir L-systems foi modelar crescimentos (desenvolvimentos) de vários tipos. Para tal, nós temos que assumir alguns significados naturais para os símbolos formais que são manipulados no L-System. Nessa seção, nós começaremos a verificar como as regras de produção dos L-systems podem produzir interpretações geométricas; os L-systems podem produzir incríveis objetos geométricos: vários tipos de curvas fractais, formas que imitam o mundo natural, e tilings de vários tipos.

Nós começaremos com um L-system simples :

As gerações simplesmente duplicam a cada vez: a, ab, abab, abababab,etc. Para a e b, nós associamos as formas:

Figura 3: triângulos a and b

As linhas em negrito indicam a curva que é desenhada. A linha azul pontilhada é só para referência. Cada triângulo é retângulo e isósceles. As produções em nosso L-system agora representa uma mudança na geometria dessas configurações. As linhas em negrito tornam-se linhas azuis pontilhadas, enquanto uma curva em negrito é desenhada formando triangulos isosceles com as linhas azuis pontilhadas. As duas novas configurações são:

Figura 4: Regras de Produção para a Curva do Dragão

As quatro primeiras gerações desse L-system são exibidas abaixo, começando com um triângulo a:

Figura 5: Primeiras Quatro Gerações da Curva do Dragão

A medida que construímos mais e mais gerações, uma curva conhecida como Dragão aparece.

Figura 6: Generação 10 da Curva do Dragão

Nós começamos a ver um  comportamento emergente nesse sistema dinâmico. A curva aparentemente gera infinitamente vários quadrados pequenos. Estes quadrados fecham-se em uma seqüência de "ilhas", onde cada ilha é conectada a outra por um segmento simples. A forma limitada é o  fractal dragão:

Figura 7: Fractal Dragão

Existe um processo natural dinâmico de "dobramento" na criação de curvas do dragão. Comece com um pedaço retangular de papel o qual nós visualizamos pelas bordas. Dobre a metade direita do papel sobre a metade esquerda, com uma dobra grossa no meio. Pegue o papel dobrado e o dobre novamente. Continue esse processo de dobramento mais algumas vezes. A aparência da aresta é mostrado no lado esquerdo da figura abaixo. Depois de um número de dobramentos, desdobre o papel, e estique cada dobra em um ângulo de exatamente . A figura resultante é o nosso dragão. A metade direita da figura mostra os resultados para as primeiras gerações.

Figura 8: Dobramento de Papéis

Existe um outra codificação natural de dragões que nós podemos ver nas figuras. Seguindo a curva do começo ao fim, cada mudança de direção é ou para esquerda ou para direita. Portanto, cada geração do dragão corresponde a sequências de L´s(esquerda) e R´s(direita). Na próxima figura, nós mostraremos a quarta geração com todas as suas mudanças de direções codificadas como L ou R.
Figure 10: Quarta geração codificada como mudanças L e R

As seqüências correspondentes até a quarta geração estão listadas abaixo:
 

1 dobra L

2 dobras LLR

3 dobras LLRLLRR

4 dobras LLRLLRRLLLRRLRR

Tabela 5: Seqüências de dobramentos
 

Há uma vaga similaridade com a sequência Thue-Morse. De fato, existe uma relação, mas é muito difícil de se trabalhar para mais detalhes). A relação com o processo de dobramento de papéis sugere  muitas variações interessantes de curvas do dragão. Por Exemplo, ao invés de sempre bobrar o papel, colocando a metade direita em cima do metade esquerda, nós podemos se quisermos dobrar a metade esquerda sobre a direita. Dependendo da sequência de instruções de dobramento de papéis, nós podemos construir diferentes curvas do dragão.