\documentclass[dvipdfm,12pt]{article} \usepackage{amssymb} \usepackage[dvips]{graphicx} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage{color} \usepackage{times} \input epsf.tex \begin{document} \begin{centering} Universidade Federal de Pernambuco \\ Centro de Inform\'{a}tica \\ Recife, 18 de dezembro de 2002 \\ Disciplina: Computa\c{c}\~{a}o Gr\'{a}fica \\ Professor: Alejandro Frery \\ Aluno: Francisco do Nascimento J\'{u}nior \\ {\color{red}Resolução da Lista 2} \end{centering} 1. Descreva as matrizes de proje\c{c}\~{o}es: \\ a. Com centro de proje\c{c}\~{a}o na origem e cujo plano de proje\c{c}\~{a}o \'{e} o plano $z = d $. \\ Resolu\c{c}\~{a}o \\ \begin{em} Considere o ponto $P = (x,y,z)$ que se deseja projetar no plano $z = d$, obtendo assim o ponto $Q = (x_p, y_p, d) $. \\ Inicialmente, considere a proje\c{c}ao do ponto P no plano YZ, encontrando o ponto $P_1 = (0, y, z)$. \\ Logo, temos por semelhan\c{c}a de tri\^{a}ngulos: \\ \begin{eqnarray*} \frac{y_p}{y} & = & \frac{d}{z} \Rightarrow y_p = \frac{y}{z/d} \end{eqnarray*} Considere agora a proje\c{c}\~{a}o do ponto P no plano XZ, obtendo o ponto $P_2 = (x, 0, z)$. \\ \begin{eqnarray*} \frac{x_p}{x} = \frac{d}{z} \Rightarrow x_p = \frac{x}{z/d} \end{eqnarray*} Agora, utilizando coordenadas homog\^{e}neas obtemos a seguinte rela\c{c}\~{a}o: \\ \begin{eqnarray*} \left[ \begin{array}{cccc} x & y & z & 1 \end{array}\right] \bullet M_{Pers} & = & \left[\begin{array}{cccc} x_p & y_p & d & 1 \\ \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cccc} \frac{x}{z/d} & \frac{y}{z/d} & d & 1 \end{array}\right] \bullet \frac{z}{d} = \left[\begin{array}{cccc} x & y & z & \frac{z}{d} \end{array}\right] \end{eqnarray*} Com esta rela\c{c}\~{a}o podemos deduzir que a matriz $M_{Pers}$ é: \\ \begin{eqnarray*} M_{Pers} & = & \left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{d} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right] \end{eqnarray*} \end{em} b. Cujo centro de proje\c{c}\~{a}o é o ponto $(0,0,-d)$ e cujo plano de proje\c{c}\~{a}o é o plano $z = 0 $. \\ Resolução: \\ \begin{em} Utilizando o mesmo raciocínio da questão anterior, obtemos através da projeção no plano XZ: \\ \begin{eqnarray*} \frac{x_p}{x} = \frac{d}{z+d} \Rightarrow x_p = \frac{x}{(z+d)/d} = \frac{x}{z/d + 1} \end{eqnarray*} E através da projeção no plano YZ: \\ \begin{eqnarray*} \frac{y_p}{y} = \frac{d}{z+d} \Rightarrow y_p = \frac{y}{(z+d)/d} = \frac{y}{z/d + 1} \end{eqnarray*} Logo, obtemos a seguinte relação: \\ \begin{eqnarray*} \left[ \begin{array}{cccc} x & y & z & 1 \end{array}\right] \bullet M_{Pers} & = & \left[\begin{array}{cccc} x_p & y_p & 0 & 1 \\ \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cccc} \frac{x}{z/d + 1} & \frac{y}{z/d + 1} & 0 & 1 \end{array}\right] \bullet \frac{z}{d} = \\ & = & \left[\begin{array}{cccc} x & y & 0 & \frac{z}{d} + 1 \end{array}\right] \end{eqnarray*} Com esta rela\c{c}\~{a}o podemos deduzir que a matriz $M_{Pers}$ é: \\ \begin{eqnarray*} M_{Pers} & = & \left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{d} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \end{eqnarray*} \end{em} 2. Considere o cubo definido pelos pontos: \\ $(3,0,3), (3,0,6), (0,0,6), (0,0,3), (0,3,6), (3,3,6), (3,3,3), (0,3,3)$. \\ a. Aplique a matriz encontrada no item a da questão anterior para projetar este cubo. Defina, em seguida, valores para d, tais, que, nenhum ponto do cubo será projetado no plano de projeção e outro com todos os pontos projetado. \\ Resolucao: \\ \begin{figure} \centering \includegraphics[scale=0.5]{cubo2.jpg} \end{figure} \begin{em} \begin{eqnarray*} \left[\begin{array}{cccc} 3 & 0 & 3 & 1 \\ 3 & 0 & 6 & 1 \\ 0 & 0 & 6 & 1 \\ 0 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 3 & 6 & 1 \\ 3 & 3 & 6 & 1 \\ 3 & 3 & 3 & 1 \\ 0 & 3 & 3 & 1 \\ \end{array}\right] \bullet \left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1/d \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cccc} 3 & 0 & 3 & 3/d \\ 3 & 0 & 6 & 6/d \\ 0 & 0 & 6 & 6/d \\ 0 & 0 & 3 & 3/d \\ 0 & 3 & 6 & 6/d \\ 3 & 3 & 6 & 6/d \\ 3 & 3 & 3 & 3/d \\ 0 & 3 & 3 & 3/d \\ \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cccc} d & 0 & d & 1 \\ d/2 & 0 & d & 1 \\ 0 & 0 & d & 1 \\ 0 & 0 & d & 1 \\ 0 & d/2 & d & 1 \\ d/2 & d/2 & d & 1 \\ d & d & d & 1 \\ 0 & d & d & 1 \\ \end{array}\right] \end{eqnarray*} Para $d < 0$ e $d > 6$, nenhum ponto do cubo é projetado. \\ Para $0 < d < 3$, todos os pontos do cubo são projetados. \\ b. Construa as vistas ortográficas frontal, superior e lateral do cubo. \\ \begin{figure} \centering \includegraphics[scale=0.5]{frontal.jpg} \includegraphics[scale=0.5]{superior.jpg} \includegraphics[scale=0.5]{lateral.jpg} \setlength{\abovecaptionskip}{3pt} \caption{Vistas: frontal, superior e lateral} \end{figure} \end{em} c. Determine a projeção dimétrica deste cubo, com um fator de projeção do eixo z de 5/8. \\ \begin{em} Para realizar a projeção dimétrica podemos fazer uma rotação de $\theta$ em torno de x, em seguida rotacionamos $\alpha$ em torno de y e, por fim, aplicar uma projeção no eixo z. \\ Vamos aos cálculos: \\ Considere o operador $\psi = P_z \cdot R_{\alpha}^{y} \cdot R_{\theta}^{x}$, e a matriz que o implementa [T]. \\ \begin{eqnarray*} [T] & = & \left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ 0 & \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array}\right] \bullet \left[\begin{array}{cccc} \cos\alpha & 0 & \sin\alpha & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -\sin\alpha & 0 & \cos\alpha & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array}\right] \bullet \left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array}\right] \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} [T] & = & \left[\begin{array}{cccc} \cos\alpha & 0 & \sin\alpha & 0 \\ \sin\theta\sin\alpha & \cos\theta & -\sin\theta\cos\alpha & 0 \\ -\sin\alpha\cos\theta & \sin\theta & \cos\alpha\cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array}\right] \bullet \left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array}\right] \\ & = & \left[\begin{array}{cccc} \cos\alpha & 0 & 0 & 0 \\ \sin\theta\sin\alpha & \cos\theta & 0 & 0 \\ -\sin\alpha\cos\theta & \sin\theta & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array}\right] \end{eqnarray*} Agora, para determinarmos os fatores de proporção da projeção, vamos aplicar essa transformação a vetores unitários: \\ $[U*] = [U][T]$ \\ \begin{eqnarray*} [U*] & = & \left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{array}\right] \bullet \left[\begin{array}{cccc} \cos\alpha & 0 & 0 & 0 \\ \sin\theta\sin\alpha & \cos\theta & 0 & 0 \\ -\sin\alpha\cos\theta & \sin\theta & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cccc} \cos\alpha & 0 & 0 & 1 \\ \sin\theta\sin\alpha & \cos\theta & 0 & 1 \\ -\sin\alpha\cos\theta & \sin\theta & 0 & 1 \\ \end{array}\right] \end{eqnarray*} Daí, calculamos os módulos dos vetores: \\ \begin{eqnarray*} f_x & = & \cos\alpha \\ f_y & = & \sqrt{\sin^2\theta\sin^2\alpha + \sin^2\theta} \\ f_z & = & \sqrt{\cos^2\theta\sin^2\alpha + \sin^2\theta} \\ \end{eqnarray*} Sabendo que foi dado o valor de $f_z$, poremos os ângulos de $\theta$ e $\alpha$ em função de $f_z$. \\ Como desejamos uma projeção dimétrica, igualemos os fatores $f_x$ e $f_y$: \\ \begin{eqnarray*} & &\cos^2\alpha = \sin^2\theta\sin^2\alpha + \cos^2\theta \\ & &\cos^2\alpha = \sin^2\theta\sin^2\alpha + 1 - \sin^2\theta \\ & &\cos^2\alpha = \sin^2\theta(\sin^2\alpha - 1) + 1 \\ & &\sin^2\theta = \frac{\cos^2\alpha - 1}{\sin^2\alpha - 1} = \frac{-\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha - 1} \\ & &\sin^2\theta = \frac{\sin^2\alpha}{1 - \sin^2\alpha} & [Eq. 01] \\ \end{eqnarray*} Substituimos esse valor de $\sin^2\theta$ na expressão de $f_z$: \\ \begin{eqnarray*} & &f_z^2 = \sin^2\alpha\cos^2\theta + \sin^2\theta \\ & &f_z^2 = \sin^2\alpha(1 - \sin^2\theta) + \sin^2\theta \\ & &f_z^2 = \sin^2\alpha(\frac{1 - 2\sin^2\alpha}{1 - \sin^2\alpha}) + \frac{\sin^2\alpha}{1 - \sin^2\alpha} \\ & &(1 - \sin^2\alpha)f_z^2 = \sin^2\alpha(1 - 2\sin^2\alpha) + \sin^2\alpha \\ & &(1 - \sin^2\alpha)f_z^2 = \sin^2\alpha - 2\sin^4\alpha + \sin^2\alpha \\ & &2\sin^2\alpha - 2\sin^4\alpha - (1 - \sin^2\alpha)f_z^2 = 0 \\ & &2\sin^2\alpha - 2\sin^4\alpha - f_z^2 + f_z^2\sin^2\alpha = 0 \\ & &2\sin^4\alpha - (2 + f_z^2)\sin^2\alpha + f_z^2 = 0\\ \end{eqnarray*} Resolução dessa equação bi-quadrada: \\ \begin{eqnarray*} & &2\sin\alpha^4 - (2 + f_z^2)\sin^2\alpha + f_z^2 = 0 \\ & &\Delta = (2+f_z^2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot f_z^2 \\ & &\Delta = 4 + 4f_z^2 + f_z^4 - 8f_z^2 = 4 - 4f_z^2 + f_z^4 = (2 - f_z^2)^2 \\ & &\sin^2\alpha = \frac{2 + f_z^2 \pm (2 - f_z^2)}{4}\\ \end{eqnarray*} Uma solução da equação é: \\ \begin{eqnarray*} \sin^2\alpha &=& \frac{2 + f_z^2 - (2 - f_z^2)}{4} = \frac{f_z^2}{2} \\ \sin\alpha &=& \frac{f_z}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*} Substituindo o valor de $\sin\alpha$ na Equação 01, temos: \\ \begin{eqnarray*} \sin\theta^2 &=& \frac{\sin^2\alpha}{1 - \sin^2\alpha} \\ \sin^2\theta &=& \frac{f_z^2/2}{1 - f_z^2/2} \\ \sin^2\theta &=& \frac{f_z^2}{2 - f_z^2} \\ \sin\theta &=& \frac{f_z}{\sqrt{2 - f_z^2}} \end{eqnarray*} Utilizando as transformações trigonométricas, encontramos todos os parâmetros necessários para a construção da matriz de transformação: \\ \begin{eqnarray*} \sin\alpha &=& \frac{f_z}{\sqrt{2}} \Rightarrow \cos\alpha = \sqrt{1 - \frac{f_z^2}{2}} \\ \sin\theta &=& \frac{f_z}{\sqrt{2 - f_z^2}} \Rightarrow \cos\theta = \sqrt{1 - \frac{f_z^2}{2 - f_z^2}} \\ \end{eqnarray*} Com isso, resulta-se na matriz abaixo: \\ \begin{eqnarray*} [T] &=& \left[\begin{array}{cccc} \sqrt{1 - \frac{f_z^2}{2}} & 0 & 0 & 0 \\ \frac{f_z}{\sqrt{2 - f_z^2}}\frac{f_z}{\sqrt{2}} & \sqrt{1 - \frac{f_z^2}{2 - f_z^2}} & 0 & 0 \\ -\frac{f_z}{\sqrt{2}}\sqrt{1 - \frac{f_z^2}{2 - f_z^2}} & \frac{f_z}{\sqrt{2 - f_z^2}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array}\right] \end{eqnarray*} Substituindo o fator $f_z = 5/8$ na matriz obtemos:\\ \begin{eqnarray*} [T] & = & \left[\begin{array}{cccc} 0.897 & 0 & 0 & 0 \\ 0.217 & 0.870 & 0 & 0 \\ -0.240 & 0.308 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \end{eqnarray*} \end{em} \end{document}