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\input epsf.tex
\begin{document}
\begin{centering}
Universidade Federal de Pernambuco \\
Centro de Inform\'{a}tica \\
Recife, 18 de dezembro de 2002 \\
Disciplina: Computa\c{c}\~{a}o Gr\'{a}fica \\
Professor: Alejandro Frery \\
Aluno: Francisco do Nascimento J\'{u}nior \\
{\color{red}Resolução da Lista 2}
\end{centering}

1. Descreva as matrizes de proje\c{c}\~{o}es: \\
a. Com centro de proje\c{c}\~{a}o na origem e cujo plano de
proje\c{c}\~{a}o \'{e} o plano  $z = d $. \\
Resolu\c{c}\~{a}o \\
\begin{em}
Considere o ponto $P = (x,y,z)$ que se deseja projetar no plano $z =
d$, obtendo assim
o ponto $Q = (x_p, y_p, d) $. \\
Inicialmente, considere a proje\c{c}ao do ponto P no plano YZ, encontrando
o ponto $P_1 = (0, y, z)$. \\
Logo, temos por semelhan\c{c}a de tri\^{a}ngulos: \\
\begin{eqnarray*}
\frac{y_p}{y} & = & \frac{d}{z} \Rightarrow
y_p  =  \frac{y}{z/d}
\end{eqnarray*}
Considere agora a proje\c{c}\~{a}o do ponto P no plano XZ, obtendo o ponto
$P_2 = (x, 0, z)$. \\
\begin{eqnarray*}
\frac{x_p}{x} = \frac{d}{z} \Rightarrow
x_p  =  \frac{x}{z/d}
\end{eqnarray*}
Agora, utilizando coordenadas homog\^{e}neas obtemos a seguinte
rela\c{c}\~{a}o: \\
\begin{eqnarray*}
\left[
\begin{array}{cccc}
x & y & z & 1
\end{array}\right] \bullet M_{Pers} & = &
\left[\begin{array}{cccc}
x_p & y_p & d & 1 \\
\end{array}\right] =
\left[\begin{array}{cccc}
\frac{x}{z/d} & \frac{y}{z/d} & d & 1
\end{array}\right] \bullet \frac{z}{d}  =
\left[\begin{array}{cccc}
x & y & z & \frac{z}{d}
\end{array}\right]
\end{eqnarray*}
Com esta rela\c{c}\~{a}o podemos deduzir que a matriz $M_{Pers}$ é: \\
\begin{eqnarray*}
M_{Pers} & = &
\left[\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & \frac{1}{d} \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right]
\end{eqnarray*}
\end{em}

b. Cujo centro de proje\c{c}\~{a}o é o ponto $(0,0,-d)$ e
cujo plano de proje\c{c}\~{a}o é o plano  $z = 0 $. \\
Resolução: \\
\begin{em}
Utilizando o mesmo raciocínio da questão anterior, obtemos através da projeção no plano XZ: \\
\begin{eqnarray*}
\frac{x_p}{x} = \frac{d}{z+d} \Rightarrow x_p = \frac{x}{(z+d)/d} = \frac{x}{z/d + 1}
\end{eqnarray*}
E através da projeção no plano YZ: \\
\begin{eqnarray*}
\frac{y_p}{y} = \frac{d}{z+d} \Rightarrow y_p = \frac{y}{(z+d)/d} = \frac{y}{z/d + 1}
\end{eqnarray*}
Logo, obtemos a seguinte relação: \\
\begin{eqnarray*}
\left[
\begin{array}{cccc}
x & y & z & 1
\end{array}\right] \bullet M_{Pers} & = &
\left[\begin{array}{cccc}
x_p & y_p & 0 & 1 \\
\end{array}\right] =
\left[\begin{array}{cccc}
\frac{x}{z/d + 1} & \frac{y}{z/d + 1} & 0 & 1
\end{array}\right] \bullet \frac{z}{d}  = \\
& = & \left[\begin{array}{cccc}
x & y & 0 & \frac{z}{d} + 1
\end{array}\right]
\end{eqnarray*}
Com esta rela\c{c}\~{a}o podemos deduzir que a matriz $M_{Pers}$ é: \\
\begin{eqnarray*}
M_{Pers} & = &
\left[\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \frac{1}{d} \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right]
\end{eqnarray*}
\end{em}

2. Considere o cubo definido pelos pontos:
\\
$(3,0,3), (3,0,6), (0,0,6), (0,0,3), (0,3,6), (3,3,6), (3,3,3), (0,3,3)$. \\
a. Aplique a matriz encontrada no item a da questão anterior para projetar este cubo.
Defina, em seguida, valores para d, tais, que, nenhum ponto do
cubo será projetado no plano de projeção e outro com todos os pontos projetado. \\
Resolucao: \\
\begin{figure}
  \centering
  \includegraphics[scale=0.5]{cubo2.jpg}
\end{figure}
\begin{em}
\begin{eqnarray*}
\left[\begin{array}{cccc}
3 & 0 & 3 & 1 \\
3 & 0 & 6 & 1 \\
0 & 0 & 6 & 1 \\
0 & 0 & 3 & 1 \\
0 & 3 & 6 & 1 \\
3 & 3 & 6 & 1 \\
3 & 3 & 3 & 1 \\
0 & 3 & 3 & 1 \\
\end{array}\right]
\bullet
\left[\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1/d \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{array}\right]
=
\left[\begin{array}{cccc}
3 & 0 & 3 & 3/d \\
3 & 0 & 6 & 6/d \\
0 & 0 & 6 & 6/d \\
0 & 0 & 3 & 3/d \\
0 & 3 & 6 & 6/d \\
3 & 3 & 6 & 6/d \\
3 & 3 & 3 & 3/d \\
0 & 3 & 3 & 3/d \\
\end{array}\right]
=
\left[\begin{array}{cccc}
d & 0 & d & 1 \\
d/2 & 0 & d & 1 \\
0 & 0 & d & 1 \\
0 & 0 & d & 1 \\
0 & d/2  & d & 1 \\
d/2 & d/2 & d & 1 \\
d & d & d & 1 \\
0 & d & d & 1 \\
\end{array}\right]
\end{eqnarray*}
Para $d < 0$ e $d > 6$, nenhum ponto do cubo é projetado. \\
Para $0 < d < 3$, todos os pontos do cubo são projetados. \\
b. Construa as vistas ortográficas frontal, superior e lateral do cubo. \\
\begin{figure}
  \centering
  \includegraphics[scale=0.5]{frontal.jpg}
  \includegraphics[scale=0.5]{superior.jpg}
  \includegraphics[scale=0.5]{lateral.jpg}
  \setlength{\abovecaptionskip}{3pt}
  \caption{Vistas: frontal, superior e lateral}
\end{figure}
\end{em}
c. Determine a projeção dimétrica deste cubo, com um fator de
projeção do eixo z de 5/8. \\
\begin{em}
Para realizar a projeção dimétrica podemos fazer uma rotação de
$\theta$ em torno de x, em seguida rotacionamos $\alpha$ em torno
de y e, por fim, aplicar uma projeção no eixo z. \\
Vamos aos cálculos: \\
Considere o operador $\psi = P_z \cdot R_{\alpha}^{y} \cdot
R_{\theta}^{x}$, e a matriz que o implementa [T]. \\
\begin{eqnarray*}
[T] & = & \left[\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\
0 & \sin\theta & \cos\theta & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{array}\right]
\bullet \left[\begin{array}{cccc}
\cos\alpha & 0 & \sin\alpha & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
-\sin\alpha & 0 & \cos\alpha & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{array}\right]
\bullet \left[\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{array}\right]
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
[T] & = & \left[\begin{array}{cccc}
\cos\alpha & 0 & \sin\alpha & 0 \\
\sin\theta\sin\alpha & \cos\theta & -\sin\theta\cos\alpha & 0 \\
-\sin\alpha\cos\theta & \sin\theta & \cos\alpha\cos\theta & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{array}\right]
\bullet \left[\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{array}\right] \\
& = & \left[\begin{array}{cccc}
\cos\alpha & 0 & 0 & 0 \\
\sin\theta\sin\alpha & \cos\theta & 0 & 0 \\
-\sin\alpha\cos\theta & \sin\theta & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{array}\right]
\end{eqnarray*}
Agora, para determinarmos os fatores de proporção da projeção,
vamos aplicar essa transformação a vetores unitários: \\
$[U*] = [U][T]$ \\
\begin{eqnarray*}
[U*] & = & \left[\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
\end{array}\right]
\bullet \left[\begin{array}{cccc}
\cos\alpha & 0 & 0 & 0 \\
\sin\theta\sin\alpha & \cos\theta & 0 & 0 \\
-\sin\alpha\cos\theta & \sin\theta & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{array}\right] =
\left[\begin{array}{cccc}
\cos\alpha & 0 & 0 & 1 \\
\sin\theta\sin\alpha & \cos\theta & 0 & 1 \\
-\sin\alpha\cos\theta & \sin\theta & 0 & 1 \\
\end{array}\right]
\end{eqnarray*}
Daí, calculamos os módulos dos vetores: \\
\begin{eqnarray*}
f_x & = & \cos\alpha \\
f_y & = & \sqrt{\sin^2\theta\sin^2\alpha + \sin^2\theta} \\
f_z & = & \sqrt{\cos^2\theta\sin^2\alpha + \sin^2\theta} \\
\end{eqnarray*}
Sabendo que foi dado o valor de $f_z$, poremos os ângulos de $\theta$ e
$\alpha$ em função de $f_z$. \\
Como desejamos uma projeção dimétrica, igualemos os fatores $f_x$ e $f_y$:
\\
\begin{eqnarray*}
 & &\cos^2\alpha = \sin^2\theta\sin^2\alpha + \cos^2\theta \\
 & &\cos^2\alpha = \sin^2\theta\sin^2\alpha + 1 - \sin^2\theta \\
 & &\cos^2\alpha = \sin^2\theta(\sin^2\alpha - 1) + 1 \\
 & &\sin^2\theta = \frac{\cos^2\alpha - 1}{\sin^2\alpha - 1} =
\frac{-\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha - 1} \\
 & &\sin^2\theta = \frac{\sin^2\alpha}{1 - \sin^2\alpha} & [Eq. 01] \\
\end{eqnarray*}
Substituimos esse valor de $\sin^2\theta$ na expressão de $f_z$:
\\
\begin{eqnarray*}
 & &f_z^2 = \sin^2\alpha\cos^2\theta + \sin^2\theta \\
 & &f_z^2 = \sin^2\alpha(1 - \sin^2\theta) + \sin^2\theta \\
 & &f_z^2 = \sin^2\alpha(\frac{1 - 2\sin^2\alpha}{1 - \sin^2\alpha}) +
\frac{\sin^2\alpha}{1 - \sin^2\alpha} \\
 & &(1 - \sin^2\alpha)f_z^2 = \sin^2\alpha(1 - 2\sin^2\alpha) +
\sin^2\alpha
\\
 & &(1 - \sin^2\alpha)f_z^2 = \sin^2\alpha - 2\sin^4\alpha +
\sin^2\alpha
\\
 & &2\sin^2\alpha - 2\sin^4\alpha - (1 - \sin^2\alpha)f_z^2  =  0 \\
 & &2\sin^2\alpha - 2\sin^4\alpha - f_z^2 + f_z^2\sin^2\alpha  =  0 \\
 & &2\sin^4\alpha - (2 + f_z^2)\sin^2\alpha + f_z^2  =  0\\
\end{eqnarray*}
Resolução dessa equação bi-quadrada: \\
\begin{eqnarray*}
 & &2\sin\alpha^4 - (2 + f_z^2)\sin^2\alpha + f_z^2 = 0 \\
 & &\Delta = (2+f_z^2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot f_z^2 \\
 & &\Delta = 4 + 4f_z^2 + f_z^4 - 8f_z^2 = 4 - 4f_z^2 + f_z^4 = (2 -
f_z^2)^2
\\
 & &\sin^2\alpha = \frac{2 + f_z^2 \pm (2 - f_z^2)}{4}\\
\end{eqnarray*}
Uma solução da equação é: \\
\begin{eqnarray*}
\sin^2\alpha &=& \frac{2 + f_z^2 - (2 - f_z^2)}{4} = \frac{f_z^2}{2} \\
\sin\alpha &=& \frac{f_z}{\sqrt{2}}
\end{eqnarray*}
Substituindo o valor de $\sin\alpha$ na Equação 01, temos: \\
\begin{eqnarray*}
\sin\theta^2 &=& \frac{\sin^2\alpha}{1 - \sin^2\alpha} \\
\sin^2\theta &=& \frac{f_z^2/2}{1 - f_z^2/2} \\
\sin^2\theta &=& \frac{f_z^2}{2 - f_z^2} \\
\sin\theta &=& \frac{f_z}{\sqrt{2 - f_z^2}}
\end{eqnarray*}
Utilizando as transformações trigonométricas, encontramos todos os
parâmetros
necessários para a construção da matriz de transformação: \\
\begin{eqnarray*}
\sin\alpha &=& \frac{f_z}{\sqrt{2}} \Rightarrow \cos\alpha = \sqrt{1 -
\frac{f_z^2}{2}} \\
\sin\theta &=& \frac{f_z}{\sqrt{2 - f_z^2}} \Rightarrow \cos\theta =
\sqrt{1
- \frac{f_z^2}{2 - f_z^2}} \\
\end{eqnarray*}
Com isso, resulta-se na matriz abaixo: \\
\begin{eqnarray*}
[T] &=& \left[\begin{array}{cccc}
\sqrt{1 - \frac{f_z^2}{2}} & 0 & 0 & 0 \\
\frac{f_z}{\sqrt{2 - f_z^2}}\frac{f_z}{\sqrt{2}} & \sqrt{1 -
\frac{f_z^2}{2 - f_z^2}} & 0 & 0 \\
-\frac{f_z}{\sqrt{2}}\sqrt{1 - \frac{f_z^2}{2 - f_z^2}} &
\frac{f_z}{\sqrt{2 - f_z^2}} & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{array}\right]
\end{eqnarray*}
Substituindo o fator $f_z = 5/8$ na matriz obtemos:\\
\begin{eqnarray*}
[T] & = & \left[\begin{array}{cccc}
0.897 & 0 & 0 & 0 \\
0.217 & 0.870 & 0 & 0 \\
-0.240 & 0.308 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right]
\end{eqnarray*}
\end{em}

\end{document}
