Quest\~{a}o 05 \\
Considera\c{c}\~{o}es: \\
\begin{equation}
P_{0} = (x_{0}, y_{0}) \\
P_{1} = (x_{1}, y_{1}) \\
d (dist\hat{a}ncia entre os pontos) = \sqrt{(y_{1} - y_{0})^{2} +
(x_{1} - x_{0})^2}
\theta = \hat{a}ngulo entre a reta e o eixo x, portanto: \\
\cos\theta = \frac{x_1 - x_0}{d} \\
\sin\theta = \frac{y_1 - y_0}{d}
\end{equation}
 Procedimentos:
\begin{itemize}
\item Levar o ponto P_{0} para a origem do sistema,
aplicando o operador T_{-P_{0}}. \\
\item Rotacionar de $\theta$ ao redor da origem, de modo que a
reta coincida com um dos eixos (escolhemos o eixo x). Como o
\hat{a}ngulo est\'a no sentido hor\'{a}rio, teremos $R_{-\theta}$.
\\
\item Com isso, fica f�cil pegar a proje\c{c}\~{a}o de um ponto,
pois ser\'{a} abscissa desse ponto ap\'os as
transforma\c{c}\~{o}es acima citadas. Para isso, utilizamos o
operador de mudan\c{c}a de escala com 1 e 0 como par\hat{a}metros.
(S_{1,0}). \\
\item Agora, temos que desfazer a opera\c{c}\~{o}es realizadas
anteriormente: $R_{\theta}$ e em seguida, $T_{P{0}}$. \\

Em suma, representamos a proje\c{c}\~{a}o desejado como: \\
\begin{equation}
  \psi & = & T_{P_{0}} & R_{\theta} & S_{1,0} & R_{-\theta} & T_{-P{0}}
\end{equation} \\
\\
Agora, iremos implementar o operador $\psi$ utilizando coordenadas
homog\hat{e}neas. \\
Considere a matriz de transforma\c{c}\~{a}o M, a
implementa\c{c}\~{a}o do operador $\psi$.
\begin{equation}
  M & = &
  \begin{array}{ccc}
    1 & 0 & 0 \\
    0 & 1 & 0 \\
    -x_{0} & -y_{0} & 1 \
  \end{array}
  \bullet
  \begin{array}{ccc}
    \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\
    \sin\theta & \cos\theta & 0 \\
    0 & 0 & 1 \
  \end{array}
  \bullet
  \begin{array}{ccc}
    1 & 0 & 0 \\
    0 & 0 & 0 \\
    0 & 0 & 1 \
  \end{array}
  \bullet
  \begin{array}{ccc}
    \cos\theta & \sin\theta & 0 \\
    -\sin\theta & \cos\theta & 0 \\
    0 & 0 & 1 \
  \end{array}
  \bullet
  \begin{array}{ccc}
    1 & 0 & 0 \\
    0 & 1 & 0 \\
    x_{0} & y_{0} & 1 \
  \end{array}

\end{equation}
Muliplicando, agora, a primeira matriz com a segunda e a terceira
com a quarta, temos: \\
/begin{equation}
  M & = &
  \begin{array}
    \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\
    \sin\theta & \cos\theta & 0 \\
    -x_{0}\cos\theta -y_{0}\sin\theta & x_{0}\sin\theta -
    y_{0}\cos\theta & 1 \
  \end{array}
  \bullet
  \begin{array}{ccc}
    \cos\theta & \sin\theta & 0 \\
    0 & 0 & 0 \\
    0 & 0 & 1 \
  \end{array}
  \bullet
  \begin{array}{ccc}
    1 & 0 & 0 \\
    0 & 1 & 0 \\
    x_{0} & y_{0} & 1 \
  \end{array}
\end{equation}
Agora, vamos multiplicar a primeira pela segunda: \\
\begin{equation}
  \begin{array}{ccc}
    (\cos\theta)^{2} & \cos\theta\sin\theta & 0 \\
    \sin\theta\cos\theta & (\sin\theta)^2 & 0 \\
    -x_{0}(\cos\theta)^2 -y_{0}\sin\theta\cos\theta & x_{0}(\sin\theta)^2 -
    y_{0}\cos\theta\sin\theta & 1 \
  \end{array}
  \bullet
  \begin{array}{ccc}
    1 & 0 & 0 \\
    0 & 1 & 0 \\
    x_{0} & y_{0} & 1 \
  \end{array}
\end{equation}
Finalmente, temos: \\
\begin{equation}
  M & = &
  \begin{array}{ccc}
    (\cos\theta)^{2} & \cos\theta\sin\theta & 0 \\
    \sin\theta\cos\theta & (\sin\theta)^2 & 0 \\
    -x_{0}(\cos\theta)^2 -y_{0}\sin\theta\cos\theta + x_0 & x_0(\sin\theta)^2 -
    y_{0}\cos\theta\sin\theta + y_0 & 1 \
  \end{array}
\end{equation}
