documentclass[12pt]{article}
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\begin{document}

O objetivo \'{e} mover o eixo arbitr\acute{a}rio para um dos eixos
do sistema de coordenadas. \\
Segue-se os procedimentos para efetuar a rota\c{c}\tilde{a}o em
torno do eixo definido pelo vetor unit\acute{a}rio
\begin{equation}\label{v}
  v & = & (v_{x}, v_{y}, v_{z})
\end{equation}:
\\
Considere os \hat{a}ngulos: \\
\begin{itemize}
  \item $\theta_{x} \equiv$ \hat{a}ngulo entre o vetor e o eixo x \\
  \item $\theta_{y} \equiv$ \hat{a}ngulo entre o vetor e o eixo y \\
  \item $\theta_{z} \equiv$ \hat{a}ngulo entre o vetor e o eixo z \\
\end{itemize} \\

\begin{itemize}
  \item Tra\c{c}a-se a proje\c{c}\~{a}o da extremidade do vertor nos
tr\^{e}s eixos e verifica-se que, utilizando o m\'{o}dulo do vetor
igual a 1 (um) : \\
\begin{itemize}
  \item $\cos{\theta_{x}} = v_{x}$ \\
  \item $\cos{\theta_{y}} = v_{y}$ \\
  \item $\cos{\theta_{z}} = v_{z}$ \\
\end{itemize} \\

  \item Fazer rota\c{c}\tilde{a}o de $\alpha_{x}$ em torno do eixo
  x, tal que o vetor perten\c{c}a ao plano xz. ($R_{\alpha_{x}^{x}}$)
  \item Rotacionar de $\alpha_{y}$ em torno do eixo y, de modo que o
  vetor coincida com o eixo z. ($R_{\alpha_{y}}^{y}$)
  \item Posicionado o vetor no eixo z, pode-se
  aplicar a rota\c{c}\tilde{a}o de $\alpha_{z}$ em torno de z, que
  ser\acute{a}, conseq\"{u}entemente em torno do vetor desejado.
  ($R_{\alpha_{z}}^{z}$)
\end{itemize}
Aplicada a rota\c{c}\tilde{a}o desejada, agora deve-se
  desfazer as transforma\c{c\~{o}}es feitas no sistema, a fim de
  voltar ao estado original.
\begin{itemize}
  \item Desfazer a rota\c{c}\tilde{a}o de $\alpha_{y}$ em torno do eixo
  y. ($R_{-\alpha_{y}}^{y}$)
  \item Desfazer, por fim, a rota\c{c}\tilde{a}o de $\alpha_{x}$ em
  torno do eixo x. ($R_{-\alpha_{x}}^{x}$)
\end{itemize}

Considere o operador
\begin{equation}\label{psi}
  \psi = R_{-\alpha^{x}}R_{-\alpha^{y}}R_{\theta}R_{\alpha^{y}}R_{\alpha^{x}}
\end{equation}
que efetua a rota\c{c}\tilde{a}o em torno do vetor v. \\

Calculemos agora os \hat{a}ngulos de rota\c{c}\tilde{a}o $\alpha_{x}$ e $\alpha_{y}$. \\
Projeta-se o vetor no plano yz, encontrando um vetor p de
coordenadas (0, v_{y}, v_{z}) e m\'odulo igual a $\sqrt{v_{y)^{2}
+ v_{z}^{2})$. Sendo $\alpha_{x}$ o \hat{a}ngulo \alpha_{x} entre
a proje\c{c}\~{a}o e o eixo z, tem-se
\begin{equation}
  \cos\alpha_{x} & = & \frac{v_{z}}{\overline{p}}
\end{equation} e
\begin{equation}
  \sin\alpha_{x} & = & \frac{v_{y}}{\overline{p}}
\end{equation}. \\
Seja M_{x} a matriz de transforma\c{c}\~a{a}o que implementa a
rota\c{c}\~{a}o em torno do eixo x de $\alpha_{x}$: \\
\begin{equation}
  M_{x} & = & \begin{array}{cccc}
    1 & 0 & 0 & 0 \\
    0 & \cos\alpha_{x} & -\sin\alpha_{x} & 0 \\
    0 & \sin\alpha_{x} & \cos\alpha_{x} & 0 \\
    0 & 0 & 0 & 1 \
  \end{array}
\end{equation} \\
Substituindo os valores de $\cos\alpha_{x}$ e $\sin\alpha_{x}$
obtidos
acima, tem-se: \\
\begin{equation}
  M_{x} & = & \begin{array}{cccc}
    1 & 0 & 0 & 0 \\
    0 & \frac{v_{z}}{\overline{p}} & -\frac{v_{y}}{\overline{p}} & 0 \\
    0 & \frac{v_{y}}{\overline{p}} & \frac{v_{z}}{\overline{p}} & 0 \\
    0 & 0 & 0 & 1 \
  \end{array}
\end{equation} \\
Aplicando a transforma\c{c}\~{a}o acima ao vetor v, encontra-se o
vetor v'= (v_{x}, 0, p).\\
Vamos, agora, calcular o $\alpha_{y}$! \\
$\alpha_{y}$ \'{e} o \hat{a}ngulo entre o eixo z e o vetor v'.
Logo,
temos: \\
\begin{equation}
  \cos\alpha_{y} & = & p
\end{equation} e
\begin{equation}
  \sin\alpha_{y} & = & v_{x}
\end{equation}. \\
Seja M_{y} a matriz de transforma\c{c}\~a{a}o que implementa a
rota\c{c}\~{a}o em torno do eixo y de $\alpha_{y}$ (note que esse \hat{a}ngulo est\'a no sentido hor\'ario): \\
\begin{equation}
  M_{y} & = & \begin{array}{cccc}
    \cos\alpha_{y} & 0 & -\sin\alpha_{y} & 0 \\
    0 & 1 & 0 & 0 \\
    \sin\alpha_{y} & 0 & \cos\alpha_{x} & 0 \\
    0 & 0 & 0 & 1 \
  \end{array}
\end{equation} \\
Substituindo os valores de $\cos\alpha_{y}$ e $\sin\alpha_{y}$
obtidos
acima, tem-se: \\
\begin{equation}
  M_{y} & = & \begin{array}{cccc}
    p & 0 & -v_{y} & 0 \\
    0 & 1 & 0 & 0 \\
    v_{y} & 0 & p & 0 \\
    0 & 0 & 0 & 1 \
  \end{array}
\end{equation} \\

No mais, podemos implementar o operador $\psi$ a partir das
opera\c{c}\~{o}es que o comp\~oem e representar por uma matriz de
transforma\c{c}\~{a}o M. \\
\begin{equation}
  M & = &
  \begin{array}{cccc} % Matriz de Rx(theta_x)
    1 & 0 & 0 & 0 \\
    0 & \frac{v_{z}}{\overline{p}} & -\frac{v_{y}}{\overline{p}} & 0 \\
    0 & \frac{v_{y}}{\overline{p}} & \frac{v_{z}}{\overline{p}} & 0 \\
    0 & 0 & 0 & 1 \
  \end{array}
  \bullet
  \begin{array}{cccc} % Matriz de Ry(theta_y)
    p & 0 & -v_{y} & 0 \\
    0 & 1 & 0 & 0 \\
    v_{y} & 0 & p & 0 \\
    0 & 0 & 0 & 1 \
  \end{array}
  \bullet
  \begin{array}{cccc} % Matriz de Rz(theta)
    \cos\theta & -\sin\theta & 0 & 0 \\
    \sin\theta & \cos\theta & 0 & 0 \\
    0 & 0 & 1 & 0 \\
    0 & 0 & 0 & 1 \
  \end{array}
  \bullet
  \begin{array}{cccc} % Matriz de Ry(-theta_y)
    p & 0 & v_{y} & 0 \\
    0 & 1 & 0 & 0 \\
    -v_{y} & 0 & p & 0 \\
    0 & 0 & 0 & 1 \
  \end{array}
  \bullet
  \begin{array}{cccc} % Matriz de Rx(-theta_x)
    1 & 0 & 0 & 0 \\
    0 & \frac{v_{z}}{\overline{p}} & \frac{v_{y}}{\overline{p}} & 0 \\
    0 & -\frac{v_{y}}{\overline{p}} & \frac{v_{z}}{\overline{p}} & 0 \\
    0 & 0 & 0 & 1 \
  \end{array}

\end{equation} \\
Multiplicando a primeira matriz pela segunda e a terceira pela
quarta, temos;
\begin{equation}
  M & = &
\begin{array}{cccc}
  p & 0 & -v_{y} & 0 \\
  -\frac{v_{y}^{e}}{p} & \frac{v_{z}}{p} & -v_{z} & 0 \\
  \frac{v_{y}v_{z}}{p} & \frac{v_{y}}{p} & v_{z} & 0 \\
  0 & 0 & 0 & 1
\end{array}
\bullet
\begin{array}{cccc}
  p\cos\theta & -\sin\theta & v_{y}\cos\theta & 0 \\
  p\sin\theta & \cos\theta & v_{y}\sin\theta & 0 \\
  -v_{y} & 0 & p & 0 \\
  0 & 0 & 0 & 1
\end{array}
\bullet
  \begin{array}{cccc} % Matriz de Rx(-theta_x)
    1 & 0 & 0 & 0 \\
    0 & \frac{v_{z}}{\overline{p}} & \frac{v_{y}}{\overline{p}} & 0 \\
    0 & -\frac{v_{y}}{\overline{p}} & \frac{v_{z}}{\overline{p}} & 0 \\
    0 & 0 & 0 & 1 \
  \end{array}
\end{equation} \\
Agora, multiplicamos a primeira pela segunda: \\
\begin{equation}
  M & = &
\end{equation}





\end{document}
