´ eárioparaumdoseixosdosistemadecoordenadas.

Segue − seosprocedimentosparaefetuararotaçãoemtornodoeixodefinidopelovetorunitáriov = (v_{x}, v_{y}, v_{z})(1) ângulos : θ_{x} ≡ ânguloentreovetoreoeixox θ_{y} ≡ ânguloentreovetoreoeixoy θ_{z} ≡ ânguloentreovetoreoeixoz ççãêó

cos θ_{x} = v_{x} cos θ_{y} = v_{y}

cos θ_{z} = v_{z} çãodeα_{x}emtornodoeixox, talqueovetorpertençaaoplanoxz.(R_{α_{x}^{x}})Rotacionardeα_{y}emtornodoeixoy, demodoqueovetorcoincidacomoeixoz.(R_{α_{y}}^{y}) çãodeα_{z}emtornodez, queserá, conseqüentementeemtornodovetordesejado.(R_{α_{z}}^{z})çãodesejada, agoradeve − sedesfazerastransformaçõesfeitasnosistema, afimdevoltaraoestadooriginal. çãodeα_{y}emtornodoeixoy.(R_{−α_{y}}^{y})Desfazer, porfim, arotaçãodeα_{x}emtornodoeixox.(R_{−α_{x}}^{x})

ψ = R_{−α^{x}}R_{−α^{y}}R_{θ}R_{α^{y}}R_{α^{x}}  (2)

çãoemtornodovetorv. ângulosderotaçãoα_{x}eα_{y}.P rojeta − seovetornoplanoyz, encontrandoumvetorpdecoordenadas(0, v_{y}, v_{z})emóduloiguala\sqrt{v_{y)^{2}+v_{z}^{2})}}α_{x}oânguloα_{x}entreaprojeçãoeoeixoz, tem − secos α_{x} = \frac{v_{z}}{\overline{p}} (3)

sin α_{x} = \frac{v_{y}}{\overline{p}}  (4)

xamatrizdetransformaçãaoqueimplementaarotaçãoemtornodoeixoxdeα_{x} : M_{x} = 1 0  0 0 0cos α_{x}− sin α_{x}0 0sin α_{x} cos α_{x} 0 0 0  0 1(5)

cos α_{x}e sin α_{x}obtidosacima, tem − se :

M_{x} = \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{v_{z}}{\overline{p}} & −\frac{v_{y}}{\overline{p}} & 0 \\ 0 & \frac{v_{y}}{\overline{p}} & \frac{v_{z}}{\overline{p}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}(6)

çã_{x}, 0, p). V amos, agora, calcularoα_{y}! α_{y}éoânguloentreoeixozeovetorv′.Logo, temos : cos α_{y} = p(7)

sin α_{y} = v_{x}  (8)

yamatrizdetransformaçãaoqueimplementaarotaçãoemtornodoeixoydeα_{y}(notequeesseânguloestánosentidohorário) : M_{y} = cos α_{y}0− sin α_{y}0 0 1 0 0 sin α_{y} 0 cos α_{x} 0 0 0 0 1(9)

cos α_{y}e sin α_{y}obtidosacima, tem − se :

M_{y} = \begin{matrix}p & 0 & −v_{y} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ v_{y} & 0 & p & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}(10)

ψçõõçã

M = \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{v_{z}}{\overline{p}} & −\frac{v_{y}}{\overline{p}} & 0 \\ 0 & \frac{v_{y}}{\overline{p}} & \frac{v_{z}}{\overline{p}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} • \begin{matrix}p & 0 & −v_{y} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ v_{y} & 0 & p & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} • cos θ− sin θ00 sin θ cos θ 00 0 0 10 0 0 01 • \begin{matrix}p & 0 & v_{y} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ −v_{y} & 0 & p & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 • \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{v_{z}}{\overline{p}} & \frac{v_{y}}{\overline{p}} & 0 \\ 0 & −\frac{v_{y}}{\overline{p}} & \frac{v_{z}}{\overline{p}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}(11) \end{matrix}