\documentclass[12pt]{article}
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\title{Lista I --- Computa\c{c}\~{a}o Gr\'{a}fica}
\date{Segundo Semestre de 2002}
\author{Aluno: Patr\'{i}cia Maforte dos Santos
\\ Professor: Alejandro Frery}

\begin{document}

\maketitle

Resolu\c{c}\~{a}o
\begin{enumerate}
\item Seja a transforma\c{c}\~{a}o $\Psi$ pedida. Esta transforma\c{c}\~{a}o deve ser descrita
de acordo com uma sequ\^{e}ncia de transforma\c{c}\~{o}es elementares que ser\~{a}o descritas a seguir.

Inicialmente, deve ser realizada uma transla\c{c}\~{a}o do ponto $\mathbf{P}=(x,y)$ a ser rotacionado
pelo vetor (-a,-b). Em operadores, esta transforma\c{c}\~{a}o é descrita da seguinte forma:
\begin{eqnarray*}
T_{-a,-b}(x,y) & = & (x-a,y-b) \\
\end{eqnarray*}
Estando agora com o ponto (a,b) na origem, podemos realizar a rota\c{c}\~{a}o de
$\theta$ graus do ponto P em torno do ponto (a,b). Em operadores, esta
transforma\c{c}\~{a}o \'{e} descrita da seguinte forma:
\begin{eqnarray*}
R_{\theta}(x,y) & = & (x \cos\theta + y \sin\theta,-x \sin\theta + y\cos\theta) \\
\end{eqnarray*}
Agora, realizamos uma transla\c{c}\~{a}o de P pelo vetor (a,b) para trazer os pontos de volta \`{a}s
suas posi\c{c}\~{o}es originais.
\begin{eqnarray*}
T_{a,b}(x,y) & = & (x+a,y+b) \\
\end{eqnarray*}
A transforma\c{c}\~{a}o $\Psi$ \'{e} ent\~{a}o descrita da seguinte forma:
\begin{eqnarray*}
\Psi & = & T_{a,b} \cdot R_{\theta} \cdot T_{-a,-b} \\
\end{eqnarray*}
A representa\c{c}\~{a}o da transforma\c{c}\~{a}o $\Psi$ em termos de coordenadas homog\^{e}neas é dada por:
\begin{eqnarray*}
(x',y',1) & = &
\left(\begin{array}{ccc}
      x & y & 1 \\
      \end{array}\right)
      \cdot
\left(\begin{array}{cccc}
      1 & 0 & 0 \\
      0 & 1 & 0 \\
      -a & -b & 1 \\
      \end{array}\right)
\end{eqnarray*} \\

\begin{eqnarray*}
(x'',y'',1) & = &
\left(\begin{array}{ccc}
      x' & y' & 1 \\
      \end{array}\right)
      \cdot
\left(\begin{array}{cccc}
      \cos{\theta} & -\sin{\theta} & 0 \\
      \sin{\theta} & \cos{\theta} & 0 \\
      0 & 0 & 1 \\
      \end{array}\right)
\end{eqnarray*} \\

\begin{eqnarray*}
(x''',y''',1) & = &
\left(\begin{array}{ccc}
      x'' & y'' & 1 \\
      \end{array}\right)
      \cdot
\left(\begin{array}{cccc}
      1 & 0 & 0 \\
      0 & 1 & 0 \\
      a & b & 1 \\
      \end{array}\right)
\end{eqnarray*} \\
Estas tr\^{e}s opera\c{c}\^{o}es podem ser concatenadas, resultando na seguinte transforma\c{c}\~{a}o:

\begin{eqnarray*}
(x''',y''',1) & = &
\left(\begin{array}{ccc}
      x & y & 1 \\
      \end{array}\right)
      \cdot
\left(\begin{array}{ccc}
      1 & 0 & 0 \\
      0 & 1 & 0 \\
      -a & -b & 1 \\
      \end{array}\right)
      \cdot
\left(\begin{array}{ccc}
      \cos{\theta} & -\sin{\theta} & 0 \\
      \sin{\theta} & \cos{\theta} & 0 \\
      0 & 0 & 1 \\
      \end{array}\right)
      \cdot
\left(\begin{array}{ccc}
      1 & 0 & 0 \\
      0 & 1 & 0 \\
      a & b & 1 \\
      \end{array}\right)
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
(x''',y''',1) & = &
\left(\begin{array}{ccc}
      x & y & 1 \\
      \end{array}\right)
\left(\begin{array}{ccc}
      \cos{\theta} & -\sin{\theta} & 0 \\
      \sin{\theta} & \cos{\theta} & 0 \\
      -a\cos{\theta}-b\sin{\theta} & a\sin{\theta}-b\cos{\theta} & 1 \\
      \end{array}\right)
      \cdot
\left(\begin{array}{ccc}
      1 & 0 & 0 \\
      0 & 1 & 0 \\
      a & b & 1 \\
      \end{array}\right)
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
(x''',y''',1) & = &
\left(\begin{array}{ccc}
      x & y & 1 \\
      \end{array}\right)
\left(\begin{array}{ccc}
      \cos{\theta} & -\sin{\theta} & 0 \\
      \sin{\theta} & \cos{\theta} & 0 \\
      a(1-\cos{\theta})-b\sin{\theta} & a\sin{\theta}+b(1-\cos{\theta}) & 1 \\
      \end{array}\right)
\end{eqnarray*}

\item Procuramos as situa\c{c}\~{o}es em que:
\begin{eqnarray*}
S_{a_{1},b{1}}{R_{\theta}}^\bullet & = & {R_{\theta}}^\bullet S_{a_{1},b{1}}
\end{eqnarray*}

Sendo $M_{S}$ a matriz que implementa a transforma\c{c}\~{a}o $S_{a_{1},b_{1}}$ e
$M_{R}$ a matriz que implementa a transforma\c{c}\~{a}o ${R_{\theta}}^\bullet$, queremos
encontrar estas matrizes, tal que, utilizando coordenadas homog\^{e}neas, temos:

\begin{eqnarray*}
\left(\begin{array}{ccc}
      x & y & 1 \\
      \end{array}\right)
      \cdot
      M_{S} \cdot M_{R}
& = &
\left(\begin{array}{ccc}
      x & y & 1 \\
      \end{array}\right)
      \cdot
      M_{R} \cdot M_{S} \\
\end{eqnarray*}

Multiplicando ambos os lados pela inversa de
$\left(\begin{array}{ccc} x & y & 1 \end{array}\right)$,
temos:
\begin{eqnarray*}
\left(\begin{array}{ccc}
      1 & 1 & 1 \\
      \end{array}\right)
      \cdot
      M_{R} \cdot M_{S}
& = &
\left(\begin{array}{ccc}
      1 & 1 & 1 \\
      \end{array}\right)
      \cdot
      M_{S} \cdot M_{R} \\
M_{R} \cdot M_{S}
& = &
M_{S} \cdot M_{R}
\end{eqnarray*}

Logo, queremos que:

\begin{eqnarray*}
\left(\begin{array}{ccc}
      a_1 & 0 & 0 \\
      0 & b_1 & 0 \\
      0 & 0 & 1 \\
      \end{array}\right)
      \cdot
\left(\begin{array}{ccc}
      \cos{\theta} & -\sin{\theta} & 0 \\
      \sin{\theta} & \cos{\theta} & 0 \\
      0 & 0 & 1 \\
      \end{array}\right)
      & = &
\left(\begin{array}{ccc}
      \cos{\theta} & -\sin{\theta} & 0 \\
      \sin{\theta} & \cos{\theta} & 0 \\
      0 & 0 & 1 \\
      \end{array}\right)
      \cdot
\left(\begin{array}{ccc}
      a_1 & 0 & 0 \\
      0 & b_1 & 0 \\
      0 & 0 & 1 \\
      \end{array}\right)
\end{eqnarray*}

Multiplicando ambos os lados:
\begin{eqnarray*}
\left(\begin{array}{ccc}
      a_1 \cos{\theta} & -a_1 \sin{\theta} & 0 \\
      b_1 \sin{\theta} & b_1 \cos{\theta} & 0 \\
      0 & 0 & 1 \\
      \end{array}\right)
      & = &
\left(\begin{array}{ccc}
      a_1 \cos{\theta} & -b_1 \sin{\theta} & 0 \\
      a_1 \sin{\theta} & b_1 \cos{\theta} & 0 \\
      0 & 0 & 1 \\
      \end{array}\right) \\
\end{eqnarray*}

Logo, para que as matrizes comutem, basta que:

\begin{eqnarray*}
-a_{1}\sin(\theta) & = & -b_{1}\sin(\theta) \\
b_{1}\sin(\theta) & = & a_{1}\sin(\theta) \\
\end{eqnarray*}

Uma poss\'{i}vel solu\c{c}\~{a}o, que satisfaz a restri\c{c}\~{a}o
de inversibilidade das transforma\c{c}\~{o}es) geom\'{e}tricas e que
n\~{a}o \'{e} uma transforma\c{c}\~{a}o neutra \'{e}:

\begin{eqnarray*}
a_{1} & = & b_{1} = 1 \\
\theta & = & \frac{\pi} {4}\\
\end{eqnarray*}

Em resumo, qualquer situa\c{c}\~{a}o em que $\mathbf{a_1} = {b_1}$ e 
$\mathbf{\sin\theta} = {\cos\theta}$ ir\'{a} satisfazer a condi\c{c}\~{a}o
imposta.

\item A transforma\c{c}\~{a}o $\psi$, que leva um tri\^{a}ngulo com v\'{e}rtices (1,1),(1,2),
(3,3) no triângulo equilátero com v\'{e}rtices $(1,0),(-1,0),(0,\sqrt{3})$, pode ser descrita
de acordo com a seguinte sequ\^{e}ncia de passos:
\begin{enumerate}
\item Aplicamos a transla\c{c}\~{a}o dos v\'{e}rtices do tri\^{a}ngulo original pelo vetor
(-1,-1), ou seja:
\begin{eqnarray*}
T_{a,b}(x,y) & = & (x+a,y+b) \\
T_{-1,-1}(1,1) & = & (0,0) \\
T_{-1,-1}(1,2) & = & (0,1) \\
T_{-1,-1}(3,3) & = & (2,2) \\
\end{eqnarray*}

\item Em seguida, aplicamos uma rota\c{c}\~{a}o de $45^\circ$, que leva o tri\^{a}ngulo \`{a}
seguinte posi\c{c}\~{a}o:
\begin{eqnarray*}
R_{\theta}(x,y) & = & (x \cos\theta + y \sin\theta,-x \sin\theta + y\cos\theta) \\
R_{45^\circ}(0,1) & = & (\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}) \\
R_{45^\circ}(2,2) & = & (2\sqrt{2},0)
\end{eqnarray*}

\item Agora, \'{e} necess\'{a}rio transformar este tri\^{a}ngulo em um tri\^{a}ngulo
is\'{o}sceles com os lados iguais medindo 2. Para isto, ser\'{a} necess\'{a}ria
uma mudan\c{c}a de escala que torne o lado $\mathbf{P_0P_2}=2$ e
que leve a coordenada $y$ do v\'{e}rtice $P_1$ para um valor que torne os lados
$\mathbf{P_0P_2}$ e $\mathbf{P_1P_2}$ iguais. Desta forma, ser\'{a} feita uma mudan\c{c}a de escala pelo
vetor $(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{14}}{2})$.
\begin{eqnarray*}
S_{a,b}(x,y) & = & (x \cdot a,y \cdot b) \\
S_{\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{14}}{2}}(2\sqrt{2},0) & = & (2,0) \\
S_{\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{14}}{2}}(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})
& = & (\frac{1}{2},\frac{\sqrt{7}}{2}) \\
\end{eqnarray*}

\item O pr\'{o}ximo passo ser\'{a} rotacionar o tri\^{a}ngulo para levar sua base
ao eixo $y$, cujo \^{a}ngulo de rota\c{c}\~{a}o \'{e} igual a $-\arcsin{\frac{\sqrt{2}}{4}}$.
\begin{eqnarray*}
R_{-\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{4})}(2,0) & = & (\frac{\sqrt{14}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}) \\
R_{-\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{4})}(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{7}}{2}) & = & (0,\sqrt{2}) \\
\end{eqnarray*}

\item O pr\'{o}ximo passo \'{e} fazer com que este tri\^{a}ngulo passe a ter as medidas
do tri\^{a}ngulo equil\'{a}tero final, ou seja, todos os lados iguais a 2 e altura
igual a $\sqrt{3}$. Para isso, ser\'{a} realizada, ent\~{a}o, uma mudan\c{c}a de
escala pelo vetor $(\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}},\sqrt{2})$.
\begin{eqnarray*}
S_{\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}},\sqrt{2}}(\frac{\sqrt{14}}{2},1) & = & (\sqrt{3},1) \\
S_{\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}},\sqrt{2}}(0,\sqrt{2}) & = & (0,2) \\
\end{eqnarray*}

\item Para levar o tri\^{a}ngulo \`{a} posi\c{c}\~{a}o final, ser\~{a}o necess\'{a}rias
uma rota\c{c}\~{a}o de 30º e uma transla\c{c}\~{a}o pelo vetor (-1,0).

A transforma\c{c}\~{a}o completa \'{e} dada, em operadores:
\begin{eqnarray*}
\psi & = & T_{-1,0} \cdot R_{30º} \cdot T_{-a,-b} \cdot S_{\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}},\sqrt{2}}
\cdot R_{-\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{4})} \cdot S_{\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{14}}{2}} \cdot
R_{45^\circ} \cdot T_{-1,-1} \\
\end{eqnarray*}

Esta transforma\c{c}\~{a}o \'{e} descrita, em coordenadas homog\^{e}neas, da seguinte forma:
\begin{eqnarray*}
(x',y',1) & = &
\left(\begin{array}{ccc}
      x & y & 1 \\
      \end{array}\right)
      \cdot
      \mathbf{M_1} \cdot
      \mathbf{M_2} \cdot
      \mathbf{M_3} \cdot
      \mathbf{M_4} \cdot
      \mathbf{M_5} \cdot
      \mathbf{M_6} \cdot
      \mathbf{M_7}
\end{eqnarray*}
As multiplica\c{c}\~{o}es das matrizes que implementam a transforma\c{c}\~{a}o $\psi$ s\~{a}o
dadas por:
\begin{eqnarray*}
\mathbf{M_1} \cdot \mathbf{M_2} & = &
\left(\begin{array}{ccc}
      1 & 0 & 0 \\
      0 & 1 & 0 \\
      -1 & -1 & 1 \\
      \end{array}\right)
      \cdot
\left(\begin{array}{ccc}
      \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\
      \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\
      0 & 0 & 1 \\
      \end{array}\right) \\
      & = &
\left(\begin{array}{ccc}
      \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\
      \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\
      -\sqrt{2} & 0 & 1 \\
      \end{array}\right)
\end{eqnarray*}

Calculando $(\mathbf{M_1} \cdot \mathbf{M_2}) \cdot \mathbf{M_3}$, temos:
\begin{eqnarray*}
(\mathbf{M_1} \cdot \mathbf{M_2}) \cdot \mathbf{M_3} & = &
\left(\begin{array}{ccc}
      \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\
      \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\
      -\sqrt{2} & 0 & 1 \\
      \end{array}\right)
      \cdot
\left(\begin{array}{ccc}
      \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & 0 \\
      0 & \frac{\sqrt{14}}{2} & 0 \\
      0 & 0 & 1 \\
      \end{array}\right) \\
      & = &
\left(\begin{array}{ccc}
      \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{7}}{2} & 0 \\
      \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{7}}{2} & 0 \\
      -1 & 0 & 1 \\
      \end{array}\right)
\end{eqnarray*}

Calculando $(\mathbf{M_1} \cdot \mathbf{M_2} \cdot \mathbf{M_3}) \cdot \mathbf{M_4}$, temos:
\begin{eqnarray*}
(\mathbf{M_1} \cdot \mathbf{M_2} \cdot \mathbf{M_3}) \cdot \mathbf{M_4} & = &
\left(\begin{array}{ccc}
      \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{7}}{2} & 0 \\
      \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{7}}{2} & 0 \\
      -1 & 0 & 1 \\
      \end{array}\right)
      \cdot
\left(\begin{array}{ccc}
      \frac{\sqrt{14}}{4} & -\frac{\sqrt{2}}{4} & 0 \\
      -\frac{\sqrt{2}}{4} & \frac{\sqrt{14}}{4} & 0 \\
      0 & 0 & 1 \\
      \end{array}\right) \\
      & = &
\left(\begin{array}{ccc}
      \frac{\sqrt{14}}{4} & -3\frac{\sqrt{2}}{4} & 0 \\
      0 & \sqrt{2} & 0 \\
      -\frac{\sqrt{14}}{4} & -\frac{\sqrt{2}}{4} & 1 \\
      \end{array}\right)
\end{eqnarray*}

Calculando $(\mathbf{M_1} \cdot \mathbf{M_2} \cdot \mathbf{M_3} \cdot \mathbf{M_4})
\cdot \mathbf{M_5}$, temos:
\begin{eqnarray*}
(\mathbf{M_1} \cdot \mathbf{M_2} \cdot \mathbf{M_3} \cdot \mathbf{M_4})
\cdot \mathbf{M_5} & = &
\left(\begin{array}{ccc}
      \frac{\sqrt{14}}{4} & -3\frac{\sqrt{2}}{4} & 0 \\
      0 & \sqrt{2} & 0 \\
      -\frac{\sqrt{14}}{4} & -\frac{\sqrt{2}}{4} & 1 \\
      \end{array}\right)
      \cdot
\left(\begin{array}{ccc}
      \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}} & 0 & 0 \\
      0 & \sqrt{2} & 0 \\
      0 & 0 & 1 \\
      \end{array}\right) \\
      & = &
\left(\begin{array}{ccc}
      \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{3}{2} & 0 \\
      0 & 2 & 0 \\
      -\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} & 1 \\
      \end{array}\right)
\end{eqnarray*}

Calculando $(\mathbf{M_1} \cdot \mathbf{M_2} \cdot \mathbf{M_3} \cdot \mathbf{M_4}
\cdot \mathbf{M_5}) \cdot \mathbf{M_6}$, temos:
\begin{eqnarray*}
(\mathbf{M_1} \cdot \mathbf{M_2} \cdot \mathbf{M_3} \cdot \mathbf{M_4}
\cdot \mathbf{M_5}) \cdot \mathbf{M_6} & = &
\left(\begin{array}{ccc}
      \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{3}{2} & 0 \\
      0 & 2 & 0 \\
      -\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} & 1 \\
      \end{array}\right)
      \cdot
\left(\begin{array}{ccc}
      \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \\
      \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{4} & 0 \\
      0 & 0 & 1 \\
      \end{array}\right) \\
      & = &
\left(\begin{array}{ccc}
      0 & -\sqrt{3} & 0 \\
      1 & \sqrt{3} & 0 \\
      -1 & 0 & 1 \\
      \end{array}\right)
\end{eqnarray*}

Calculando $(\mathbf{M_1} \cdot \mathbf{M_2} \cdot \mathbf{M_3} \cdot \mathbf{M_4}
\cdot \mathbf{M_5} \cdot \mathbf{M_6}) \cdot \mathbf{M_7}$, temos:
\begin{eqnarray*}
(\mathbf{M_1} \cdot \mathbf{M_2} \cdot \mathbf{M_3} \cdot \mathbf{M_4}
\cdot \mathbf{M_5} \cdot \mathbf{M_6}) \cdot \mathbf{M_7} & = &
\left(\begin{array}{ccc}
      0 & -\sqrt{3} & 0 \\
      1 & \sqrt{3} & 0 \\
      -1 & 0 & 1 \\
      \end{array}\right)
      \cdot
\left(\begin{array}{ccc}
      1 & 0 & 0 \\
      0 & 1 & 0 \\
      -1 & 0 & 1 \\
      \end{array}\right) \\
      & = &
\left(\begin{array}{ccc}
      0 & -\sqrt{3} & 0 \\
      1 & \sqrt{3} & 0 \\
      -2 & 0 & 1 \\
      \end{array}\right)
\end{eqnarray*} \\


\end{enumerate}

\item Como o eixo arbitr\'{a}rio, atrav\'{e}s do qual ser\'{a} realizada a rota\c{c}\~{a}o,
j\'{a} passa pela origem, devemos iniciar escolhendo em qual dos eixos iremos mape\'{a}-lo.
Escolhendo o eixo $z$, ser\~{a}o neces\'{a}rias duas rota\c{c}\~{o}es , uma em torno do eixo
$x$ e outra em torno do eixo $y$, para que o vetor unit\'{a}rio $\mathbf{v}=(v_x,v_y,v_z)$
possa ser mapeado em um vetor unit\'{a}rio sobre o eixo $z$.

Para a rota\c{c}\~{a}o em torno do eixo $x$, devemos considerar $\mathbf{h}=
\sqrt{{v_y}^2 + {v_z}^2}$ e $\alpha$ o \^{a}ngulo de rota\c{c}\~{a}o
sobre este eixo, que \'{e} o \^{a}ngulo, no sentido hor\'{a}rio, que $h$ faz com o eixo $z$.
Como $\mathbf{\sin{\alpha}}=-\frac{v_y}{h}$ e $\mathbf{\cos{\alpha}}=\frac{v_z}{h}$,
a matriz que define a rota\c{c}\~{a}o em torno do eixo $x$ \'{e} dada por:
\begin{eqnarray*}
R_{\alpha} & = &
\left(\begin{array}{cccc}
      1 & 0 & 0 & 0 \\
      0 & \frac{v_z}{h} & \frac{v_y}{h} & 0 \\
      0 & -\frac{v_y}{h} & \frac{v_z}{h} & 0 \\
      0 & 0 & 0 & 1 \\
      \end{array}\right)
\end{eqnarray*} \\
Ap\'{o}s a rota\c{c}\~{a}o sobre o eixo $x$, ser\'{a} necess\'{a}ria uma rota\c{c}\~{a}o
sobre o eixo $y$ para mapear o vetor unit\'{a}rio $v$ sobre o eixo $z$.
Esta rota\c{c}\~{a}o ser\'{a} de $\beta$ graus, que \'{e} o \^{a}ngulo que o vetor $v$
faz com o eixo $z$. Desta forma, $\mathbf{\sin{\beta}}=-v_x$ e $\mathbf{\cos{\beta}}=h$,
pois a hipotenusa $v$ tem valor igual a 1.
A matriz que define esta rota\c{c}\~{a}o \'{e} dada por:
\begin{eqnarray*}
R_{\beta} & = &
\left(\begin{array}{cccc}
      h & 0 & -v_x & 0\\
      0 & 1 & 0 & 0 \\
      v_x & 0 & h & 0 \\
      0 & 0 & 0 & 1 \\
      \end{array}\right)
\end{eqnarray*} \\
Agora, realizamos a rota\c{c}\~{a}o de $\theta$ graus em torno do eixo $z$, cuja matriz
\'{e} representada por:
\begin{eqnarray*}
R_{\theta} & = &
\left(\begin{array}{cccc}
      \cos{\theta} & -\sin{\theta} & 0 & 0\\
      \sin{\theta} & \cos{\theta} & 0 & 0 \\
      0 & 0 & 1 & 0 \\
      0 & 0 & 0 & 1 \\
      \end{array}\right)
\end{eqnarray*} \\
Por \'{u}ltimo, devemos aplicar as transforma\c{c}\~{o}es inversas das rota\c{c}\~{o}es
$R_{\alpha}$ e $R_{\beta}$ para trazer o eixo arbitr\'{a}rio \'{a} sua posi\c{c}\~{a}o
inicial. As matrizes destas transforma\c{c}\~{o}es s\~{a}o dadas por:
\begin{eqnarray*}
{R_{\alpha}}^{-1} & = &
\left(\begin{array}{cccc}
      1 & 0 & 0 & 0 \\
      0 & \frac{v_z}{h} & -\frac{v_y}{h} & 0 \\
      0 &\frac{v_y}{h} & \frac{v_z}{h} & 0 \\
      0 & 0 & 0 & 1 \\
      \end{array}\right)
\end{eqnarray*} \\

\begin{eqnarray*}
R_{\beta}^{-1} & = &
\left(\begin{array}{cccc}
      h & 0 & v_x & 0\\
      0 & 1 & 0 & 0 \\
      -v_x & 0 & h & 0 \\
      0 & 0 & 0 & 1 \\
      \end{array}\right)
\end{eqnarray*} \\

\item Para realizar a proje\c{c}\~{a}o de um ponto sobre a reta definida por dois
pontos arbitr\'{a}rios $P_0$ e $P_1$ \'{e} necess\'{a}rio fazer esta reta coincidir
com um dos eixos do sistema de coordenadas.
Escolhendo o eixo $x$ para realizar a proje\c{c}\~{a}o da reta, a primeira
transforma\c{c}\~{a}o a ser realizada \'{e} a transla\c{c}\~{a}o do ponto $\mathbf{P_0}=(x_0,y_0)$
pelo vetor $(-x_0,-y_0)$.
\begin{eqnarray*}
(x',y',1) & = &
\left(\begin{array}{ccc}
      x & y & 1 \\
      \end{array}\right)
      \cdot
\left(\begin{array}{ccc}
      1 & 0 & 0 \\
      0 & 1 & 0 \\
      -x_0 & -y_0 & 1 \\
      \end{array}\right)
\end{eqnarray*} \\
Agora que a reta definida por $P_0$ e $P_1$ passa pela origem, podemos realizar a rota\c{c}\~{a}o
de $\theta$ graus para levar a reta ao eixo $x$, onde $\theta$ \'{e} o \^{a}ngulo que a reta faz
com este eixo no sentido hor\'{a}rio.
\begin{eqnarray*}
(x'',y'',1) & = &
\left(\begin{array}{ccc}
      x' & y' & 1 \\
      \end{array}\right)
      \cdot
\left(\begin{array}{ccc}
      \cos{\theta}& -\sin{\theta} & 0 \\
      \sin{\theta} & \cos{\theta} & 0 \\
      0 & 0 & 1 \\
      \end{array}\right)
\end{eqnarray*} \\
Finalmente, a proje\c{c}\~{a}o ortogonal do ponto desejado pode ser realizada sobre o eixo $x$,
que \'{e} representada por uma mudan\c{c}a de escala pelo vetor (1,0).
\begin{eqnarray*}
(x''',y''',1) & = &
\left(\begin{array}{ccc}
      x'' & y'' & 1 \\
      \end{array}\right)
      \cdot
\left(\begin{array}{ccc}
      1 & 0 & 0 \\
      0 & 0 & 0 \\
      0 & 0 & 1 \\
      \end{array}\right)
\end{eqnarray*}

Por \'{u}ltimo, devem ser realizadas as transforma\c{c}\~{o}es inversas da rota\c{c}\~{a}o e
da transla\c{c}\~{a}o.
\begin{eqnarray*}
(x'''',y'''',1) & = &
\left(\begin{array}{ccc}
      x''' & y''' & 1 \\
      \end{array}\right)
      \cdot
\left(\begin{array}{ccc}
      \cos{\theta}& \sin{\theta} & 0 \\
      -\sin{\theta} & \cos{\theta} & 0 \\
      0 & 0 & 1 \\
      \end{array}\right)
\end{eqnarray*} \\

\begin{eqnarray*}
(x''''',y''''',1) & = &
\left(\begin{array}{ccc}
      x'''' & y'''' & 1 \\
      \end{array}\right)
      \cdot
\left(\begin{array}{ccc}
      1 & 0 & 0 \\
      0 & 1 & 0 \\
      x_0 & y_0 & 1 \\
      \end{array}\right)
\end{eqnarray*}

Para chegarmos \`{a} matriz de transforma\c{c}\~{a}o final, temos que multiplicar
todas as matrizes que a comp\~{o}e.
Multiplicando as matrizes da transla\c{c}\~{a}o e da rota\c{c}\~{a}o temos:
\begin{eqnarray*}
\mathbf{T_1} \cdot \mathbf{R_1} & = &
\left(\begin{array}{ccc}
      1 & 0 & 0 \\
      0 & 1 & 0 \\
      -x_0 & -y_0 & 1 \\
      \end{array}\right)
      \cdot
\left(\begin{array}{ccc}
      \cos{\theta}& -\sin{\theta} & 0 \\
      \sin{\theta} & \cos{\theta} & 0 \\
      0 & 0 & 1 \\
      \end{array}\right) \\
      & = &
\left(\begin{array}{ccc}
      \cos{\theta}& -\sin{\theta} & 0 \\
      \sin{\theta} & \cos{\theta} & 0 \\
      -x_0\cos{\theta}-y_0\sin{\theta} & x_0\sin{\theta}-y_0\cos{\theta} & 1 \\
      \end{array}\right)
\end{eqnarray*}

Agora, multiplicando as matrizes da mudan\c{c}a de base e da inversa da
rota\c{c}\~{a}o temos:
\begin{eqnarray*}
\mathbf{S_1} \cdot \mathbf{R_1}^-1 & = &
\left(\begin{array}{ccc}
      1 & 0 & 0 \\
      0 & 0 & 0 \\
      0 & 0 & 1 \\
      \end{array}\right)
      \cdot
\left(\begin{array}{ccc}
      \cos{\theta}& \sin{\theta} & 0 \\
      -\sin{\theta} & \cos{\theta} & 0 \\
      0 & 0 & 1 \\
      \end{array}\right) \\
      & = &
\left(\begin{array}{ccc}
      \cos{\theta}& -\sin{\theta} & 0 \\
      0 & 0 & 0 \\
      0 & 0 & 1 \\
      \end{array}\right)
\end{eqnarray*}

Multiplicando os dois resultados anteriores, que ser\~{a}o chamados de $\mathbf{M_1}$
e $\mathbf{M_2}$ temos:
\begin{eqnarray*}
\mathbf{M_1} \cdot \mathbf{M_2} & = &
\left(\begin{array}{ccc}
      \cos{\theta}& -\sin{\theta} & 0 \\
      \sin{\theta} & \cos{\theta} & 0 \\
      -x_0\cos{\theta}-y_0\sin{\theta} & x_0\sin{\theta}-y_0\cos{\theta} & 1 \\
      \end{array}\right)
      \cdot
\left(\begin{array}{ccc}
      \cos{\theta}& -\sin{\theta} & 0 \\
      0 & 0 & 0 \\
      0 & 0 & 1 \\
      \end{array}\right) \\
      & = &
\left(\begin{array}{ccc}
      (\cos{\theta})^2& -\sin{\theta}\cos{\theta} & 0 \\
      -\sin{\theta}\cos{\theta} & (\sin{\theta})^2 & 0 \\
      \cos{\theta}(y_0\sin{\theta}-x_0\cos{\theta})
      & -\sin{\theta}(y_0\sin{\theta}-x_0\cos{\theta}) & 1 \\
      \end{array}\right)
\end{eqnarray*}

Multiplicando o resultado anterior, que ser\'{a} chamado de $\mathbf{M_3}$ pela inversa
da mudan\c{c}a de base temos:
\begin{eqnarray*}
\mathbf{M_3} \cdot \mathbf{S_1}^-1 & = &
\left(\begin{array}{ccc}
      (\cos{\theta})^2& -\sin{\theta}\cos{\theta} & 0 \\
      -\sin{\theta}\cos{\theta} & (\sin{\theta})^2 & 0 \\
      \cos{\theta}(y_0\sin{\theta}-x_0\cos{\theta})
      & -\sin{\theta}(y_0\sin{\theta}-x_0\cos{\theta}) & 1 \\
      \end{array}\right)
      \cdot \\
& & \left(\begin{array}{ccc}
      1 & 0 & 0 \\
      0 & 1 & 0 \\
      x_0 & y_0 & 1 \\
      \end{array}\right) \\
      & = &
\left(\begin{array}{ccc}
      (\cos{\theta})^2& -\sin{\theta}\cos{\theta} & 0 \\
      -\sin{\theta}\cos{\theta} & (\sin{\theta})^2 & 0 \\
      \cos{\theta}(y_0\sin{\theta}-x_0\cos{\theta})+x_0
      & -\sin{\theta}(y_0\sin{\theta}-x_0\cos{\theta})+y_0 & 1 \\
      \end{array}\right)
\end{eqnarray*}

\end{enumerate}

\end{document}