\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{graphicx}

\input epsf.tex

\begin{document}

\centering
Universidade Federal de Pernambuco
Centro de Inform\'{a}tica
Recife, 20 de novembro de 2002
Disciplina: Computa\c{c}\~{a}o Gr\'{a}fica
Professor: Alejandro Frery
Aluno: Francisco do Nascimento J\'{u}nior

%%%%%% ATALHOS %%%%%%%%%%%
\newcommand \cao \c{c}\~ao

1. Descreva a transforma\c{c}\~ao $\Psi$, em operadores e coordenadas 
homog\^{e}neas, que faz uma rota\c{c}\~{a}o 
de $\theta$ graus em torno do ponto (a,b).
\it{Resolu\c{c}\~{a}o}
\begin{it}
Translada-se o ponto (a,b) para a origem, utilizando o operador 
$T_{-a,-b}.
Em seguida, podemos aplicar o operador de rota\c{c}\~{a}o $R_{\theta}, que 
opera em rela\{c}\~{a}o \`{a} origem.
Agora, desfaz-se a transla\c{c}\~{a}o para achar o valor da 
rota\c{c}\~{a}o. Para isso, aplica-se o operador
$T_{a,b}.
Em em termos de operadores, tem-se a transforma\c{c}\~{a}o 
\begin{eqnarray*}
\Psi$ = T_{a,b}R_{\theta}T_{-a,-b}
\end{eqnarray*}.

Considere a matriz de transforma\c{c}\~{a}o \b{M} a implementa\c{c}\~{a}o 
do operador $\Psi$.
Logo, tem-se: \\
\begin{eqnarray*}
M = \begin{array}{ccc}
    1 & 0 & 0 \\
    0 & 1 & 0 \\
    -a & -b & 1 \\
    \end{array}
    \cdot
    \begin{array}{ccc}
    \cos{\theta} & \sin{\theta} & 0 \\
    -\sin{\theta} & \cos{\theta} & 0 \\
    0 & 0 & 1 \\
    \end{array}
    \cdot
    \begin{array}{ccc}
    1 & 0 & 0 \\
    0 & 1 & 0 \\
    a & b & 1 \\
    \end{array} \\
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
M = \begin{array}{ccc}
    \cos{\theta} & \sin{\theta} & 0 \\
    -\sin{\theta} & \cos{\theta} & 0 \\
    -a\cos{\theta} + b\sin{\theta} & -a\sin{\theta| - b\cos{\theta} & 1 \\
    \end{array}
    \begin{array}{ccc}
    1 & 0 & 0 \\
    0 & 1 & 0 \\
    a & b & 1 \\
    \end{array} \\
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
M = \begin{array}{ccc}
    \cos{\theta} & \sin{\theta} & 0 \\
    -\sin{\theta} & \cos{\theta} & 0 \\
    -a\cos{\theta} + b\sin{\theta} + a & -a\sin{\theta| - b\cos{\theta} + 
a & 1 \\
    \end{array}    \\
\end{eqnarray*}
\end{it}    
\end{document}

