\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{graphicx}

\input epsf.tex

\begin{document}

\begin{centering}
Universidade Federal de Pernambuco \\
Centro de Inform\'{a}tica \\
Recife, 20 de novembro de 2002 \\
Disciplina: Computa\c{c}\~{a}o Gr\'{a}fica \\
Professor: Alejandro Frery \\
Aluno: Francisco do Nascimento J\'{u}nior \\
\par\par\par
\par\large\textbf{Resolu\c{c}\~{a}o da $1^a$ Lista de Exerc\'icios} \\
\par

\end{centering}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% 1a. QUESTAO
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Quest\~{a}o 01}
Descreva a transforma\c{c}\~ao $\Psi$, em operadores e coordenadas homog\^{e}neas, que faz uma rota\c{c}\~{a}o 
de $\theta$ graus em torno do ponto (a,b). \\
\begin{it}
Resolu\c{c}\~{a}o: \\
Translada-se o ponto (a,b) para a origem, utilizando o operador $T_{-a,-b}$. \\
Em seguida, podemos aplicar o operador de rota\c{c}\~{a}o $R_{\theta}$, que opera em rela\c{c}\~{a}o a origem.
Agora, desfaz-se a transla\c{c}\~{a}o para achar o valor da rota\c{c}\~{a}o. Para isso, aplica-se o operador
$T_{a,b}$.
Em em termos de operadores, tem-se a transforma\c{c}\~{a}o 
\begin{eqnarray*}
\Psi & = & T_{a,b} \cdot R_{\theta} \cdot T_{-a,-b}
\end{eqnarray*}
Considere a matriz de transforma\c{c}\~{a}o \b{M} a implementa\c{c}\~{a}o do operador $\Psi$.
Logo, tem-se: \\
\begin{eqnarray*}
M & = & 
\left[\begin{array}{ccc}
    1 & 0 & 0 \\
    0 & 1 & 0 \\
    -a & -b & 1 \\
    \end{array}\right]
    \bullet
\left[\begin{array}{ccc}
    \cos{\theta} & \sin{\theta} & 0 \\
    -\sin{\theta} & \cos{\theta} & 0 \\
    0 & 0 & 1 \\
    \end{array}\right]
    \bullet
\left[\begin{array}{ccc}
    1 & 0 & 0 \\
    0 & 1 & 0 \\
    a & b & 1 \\
    \end{array}\right]
\end{eqnarray*}    
\begin{eqnarray*}
M & = &
\left[\begin{array}{ccc}
    \cos{\theta} & \sin{\theta} & 0 \\
    -\sin{\theta} & \cos{\theta} & 0 \\
    -a\cos{\theta} + b\sin{\theta} & -a\sin{\theta} - b\cos{\theta} & 1 \\
    \end{array}\right]
    \bullet
\left[\begin{array}{ccc}
    1 & 0 & 0 \\
    0 & 1 & 0 \\
    a & b & 1 \\
    \end{array}\right]
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
M & = &
\left[\begin{array}{ccc}
    \cos{\theta} & \sin{\theta} & 0 \\
    -\sin{\theta} & \cos{\theta} & 0 \\
    -a\cos{\theta} + b\sin{\theta} + a & -a\sin{\theta} - b\cos{\theta} + b & 1 \\
    \end{array}\right]
\end{eqnarray*}    
\end{it}

\section{Quest\~{a}o 02}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% 2a. QUESTAO
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Exemplos de pares de elementos em $\tau$ que comutam e que
n\~{a}o s\~{a}o do mesmo tipo, isto \'e, mostre, usando elementos
de $\tau$, pelo menos uma situa\c{c}\~{a}o para a seguinte
situa\c{c}\~{a}o $S_{a_1, b_1} R_\theta^\bullet = R_\theta^\bullet
S_{a_1, b_1}$.\\
\begin{it}
Resolu\c{c}\~{a}o: \\
Podemos obter esses exemplos atrav\'es da rela\c{c}\~{a}o $T_{a,b}
S_{c,d} = S_{c,d} T_{a,b}$. Vemos abaixo essa rela\c{c}\~{a}o
utilizando coordenadas homog\^{e}neas: \\
\begin{equation}
\left[\begin{array}{ccc}
    1 & 0 & 0 \\
    0 & 1 & 0 \\
    a & b & 1 \\
    \end{array}\right]
\bullet
\left[\begin{array}{ccc}
    c & 0 & 0 \\
    0 & d & 0 \\
    0 & 0 & 1 \\
    \end{array}\right]
= \left[\begin{array}{ccc}
    c & 0 & 0 \\
    0 & d & 0 \\
    ac & bd & 1 \\
    \end{array}\right]
\end{equation}
Comutando as matrizes, obtemos:
\begin{equation}
\left[\begin{array}{ccc}
    c & 0 & 0 \\
    0 & d & 0 \\
    0 & 0 & 1 \\
    \end{array}\right]
\bullet \left[\begin{array}{ccc}
    1 & 0 & 0 \\
    0 & 1 & 0 \\
    a & b & 1 \\
    \end{array}\right]
= \left[\begin{array}{ccc}
    c & 0 & 0 \\
    0 & d & 0 \\
    a & b & 1 \\
    \end{array}\right]
\end{equation}
Ent\~{a}o, para ser verdade a comutatividade, os par\^{a}metros
$\mathbf a, b, c, d$ t\^em que satisfazer tais propriedades: \\
1 - Se a = 0, ent\~{a}o c pode adquirir qualquer valor.\\
2 - Se a $\neq$ 0, ent\~{a}o c deve ser igual a 1. \\
E a mesma rela\c{c}\~{a}o ocorre entre b e d. \\
Veja, agora, uns exemplos disso: \\
$T_{0, 2}$ e $S_{3, 1}$ \\
Prova: \\
Seja $M_1$ a matriz que implementa o operador $\psi_1 = T_{0, 2}
S_{3, 1}$ e $M_2$ a matriz que implementa o operador $\psi_2 = S_{3,
1} T_{0, 2}$
\begin{equation}
M_1 = \left[\begin{array}{ccc}
    3 & 0 & 0 \\
    0 & 1 & 0 \\
    0 & 0 & 1 \\
    \end{array}\right]
\bullet \left[\begin{array}{ccc}
    1 & 0 & 0 \\
    0 & 1 & 0 \\
    0 & 2 & 1 \\
    \end{array}\right]
= \left[\begin{array}{ccc}
    3 & 0 & 0 \\
    0 & 1 & 0 \\
    0 & 2 & 1 \\
    \end{array}\right]
\end{equation}
\begin{equation}
M_2 = \left[\begin{array}{ccc}
    1 & 0 & 0 \\
    0 & 1 & 0 \\
    0 & 2 & 1 \\
    \end{array}\right]
\bullet \left[\begin{array}{ccc}
    3 & 0 & 0 \\
    0 & 1 & 0 \\
    0 & 0 & 1 \\
    \end{array}\right]
= \left[\begin{array}{ccc}
    3 & 0 & 0 \\
    0 & 1 & 0 \\
    0 & 2 & 1 \\
    \end{array}\right]
\end{equation}
Verificou-se que as matrizes $M_1$ e $M_2$ s\~{a}o iguais, logo os
dois operadores s\~{a}o comut\'{a}veis. \\
Agora, a segunda quest\~{a}o: em que situa\c{c}\~{o}es os
operadores $S_{a,b}$ e $R_{\theta}$ s\~{a}o comut\'{a}veis? \\
Utilizaremos o mesmo procedimento de igualar as matrizes que
implementam as duas possibilidades de concatena\c{c}\~{a}o dos
dois operadores. \\
Seja $M_3$ a matriz que implementa o operador $\psi_3 = S_{a, b}
R_{\theta}$ e $M_4$ a matriz que implementa o operador $\psi_4 =
R_{\theta} S_{a, b}$
\begin{equation}
M_3 = \left[\begin{array}{ccc}
    \cos\theta & \sin\theta & 0 \\
    -\sin\theta & \cos\theta & 0 \\
    0 & 0 & 1 \\
    \end{array}\right]
\bullet \left[\begin{array}{ccc}
    a & 0 & 0 \\
    0 & b & 0 \\
    0 & 0 & 1 \\
    \end{array}\right]
= \left[\begin{array}{ccc}
    a\cos\theta & b\sin\theta & 0 \\
    -a\sin\theta & b\cos\theta & 0 \\
    0 & 0 & 1 \\
    \end{array}\right]
\end{equation}
\begin{equation}
M_4 = \left[\begin{array}{ccc}
    a & 0 & 0 \\
    0 & b & 0 \\
    0 & 0 & 1 \\
    \end{array}\right]
\bullet \left[\begin{array}{ccc}
    \cos\theta & \sin\theta & 0 \\
    -\sin\theta & \cos\theta & 0 \\
    0 & 0 & 1 \\
    \end{array}\right]
= \left[\begin{array}{ccc}
    a\cos\theta & a\sin\theta & 0 \\
    -b\sin\theta & b\cos\theta & 0 \\
    0 & 0 & 1 \\
    \end{array}\right]
\end{equation}
Logo, para tais operadores serem comut\'aveis, devemos ter:\\
$a\sin\theta = b\sin\theta \Rightarrow a = b$ \\
Dai, podemos exemplificar a situa\c{c}\~{a}o com: \\
- $S_{2,2}$ e $R_{45^o}$
\end{it}

\section{Quest\~{a}o 03}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% 3a. QUESTAO
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Considere a transforma\c{c}\~{a}o geom\'{e}trica $\psi$
utilizando operadores e coordenadas homog\^{e}neas, que leva um
tri\^{a}ngulo com v\'{e}rtices (1,1), (1,2), (3,3) no
tri\^{a}ngulo equil\'{a}tero com v\'{e}rtices )1,0), (-1,0) e (0,
$\sqrt{3}$). \\
\begin{it}
Resolu\c{c}\~{a}o: \\
Sabendo que podemos implementar qualquer transforma\c{c}\~{a}o
utilizando uma matriz da forma: \\
\begin{equation}
\left[\begin{array}{ccc}
    a & b & 0 \\
    c & d & 0 \\
    e & f & 1 \\
    \end{array}\right]
\end{equation}
Ent\~{a}o, temos a seguinte rela\c{c}\~{a}o, utilizando coordenadas 
homog\^{e}neas: \\
\begin{equation}
\left[\begin{array}{ccc}
    1 & 1 & 1 \\
    1 & 2 & 1 \\
    3 & 3 & 1 \\
    \end{array}\right]
\bullet \left[\begin{array}{ccc}
    a & b & 0 \\
    c & d & 0 \\
    e & f & 1 \\
    \end{array}\right]
= \left[\begin{array}{ccc}
    1 & 0 & 1 \\
    -1 & 0 & 1 \\
    0 & \sqrt{3} & 1 \\
    \end{array}\right]
\end{equation}
Esta rela\c{c}\~{a}o resulta nos dois sistemas de equa\c{c}\~{o}es abaixo: \\

\begin{equation}
\begin{array}{c}
a + c + e = 1 \\
a + 2c + e = -1 \\
3a + 3c + e = 0 \\
\end{array}
\end{equation}
Solu\c{c}\~{a}o: 
a = $\frac{3}{2}$, c = -2, e = $\frac{3}{2}$  \\

\begin{equation}
\begin{array}{c}
b + d + f = 0 \\
b + 2d + f = 0 \\
3b + 3d + f = \sqrt{3} \\
\end{array}{c}
\end{equation}
Solu\c{c}\~{a}o: 
b = $\frac{\sqrt{3}}{2}$, d = 0, f = -$\frac{\sqrt{3}}{2}$ \\

Da\'{i}, conclui-se a matriz de transforma\c{c}\~{a}o:
\begin{equation}
\left[\begin{array}{ccc}
    \frac{3}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \\
    -2 & 0 & 0 \\
    \frac{3}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 1 \\
    \end{array}\right]
\end{equation}
\end{it}

\section{Quest\~{a}o 04}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% 4a. QUESTAO
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Determine a matriz de uma rota\c{c}\~{a}o em torno de um eixo arbitr\'{a}rio do espa\c{c}o. 
Suponha que o eixo \'{e} definido por um vetor unit\'{a}rio $\mathbf{v = (v_x, v_y, v_z)}$ e passa pela origem. \\
\begin{it}
Resolu\c{c}\~{a}o: \\
O objetivo \'{e} mover o eixo arbitr\'{a}rio para um dos eixos
do sistema de coordenadas. \\
Considera\c{c}\~{o}es: \\
  - $\theta_{x}$ = \^{a}ngulo entre o vetor e o eixo x \\
  - $\theta_{y}$ = \^{a}ngulo entre o vetor e o eixo y \\
  - $\theta_{z}$ = \^{a}ngulo entre o vetor e o eixo z \\

Segue-se os procedimentos para efetuar a rota\c{c}\~{a}o em
torno do eixo definido pelo vetor unit\'{a}rio $v = (v_{x}, v_{y}, v_{z})$:
\begin{itemize}
  \item Tra\c{c}a-se a proje\c{c}\~{a}o da extremidade do vertor nos
tr\^{e}s eixos e utilizando o m\'{o}dulo do vetor
igual a 1 (um), verifica-se que : \\
  $\cos{\theta_{x}} = v_{x}$ \\
  $\cos{\theta_{y}} = v_{y}$ \\
  $\cos{\theta_{z}} = v_{z}$ \\

  \item Fazer rota\c{c}\~{a}o de $\alpha_{x}$ em torno do eixo 
  x, tal que o vetor fique contido ao plano xz. ($R_{\alpha_{x}}^{x}$) \\
  \item Rotacionar de $\alpha_{y}$ em torno do eixo y, de modo que o 
  vetor coincida com o eixo z. ($R_{\alpha_{y}}^{y}$) \\
  \item Posicionado o vetor no eixo z, pode-se 
  aplicar a rota\c{c}\~{a}o de $\alpha_{z}$ em torno de z, que 
  ser\'{a}, conseq\"{u}entemente em torno do vetor desejado. 
  ($R_{\alpha_{z}}^{z}$) \\
\end{itemize}
Aplicada a rota\c{c}\~{a}o desejada, agora deve-se
  desfazer as transforma\c{c\~{o}}es feitas no sistema, a fim de
  voltar ao estado original. \\
\begin{itemize}
  \item Desfazer a rota\c{c}\~{a}o de $\alpha_{y}$ em torno do eixo
  y. ($R_{-\alpha_{y}}^{y}$) \\
  \item Desfazer, por fim, a rota\c{c}\~{a}o de $\alpha_{x}$ em
  torno do eixo x. ($R_{-\alpha_{x}}^{x}$) \\
\end{itemize}

Por fim, encontramos o operador
\begin{equation}\label{psi}
  \psi = R_{-\alpha_{x}}^{x} \cdot R_{-\alpha_{y}}^{y} \cdot R_{\theta} \cdot R_{\alpha_{y}}^{y} \cdot R_{\alpha_{x}}^{x}
\end{equation}
que efetua a rota\c{c}\~{a}o em torno do vetor v. \\

Calculemos agora os \^{a}ngulos de rota\c{c}\~{a}o $\alpha_{x}$ e $\alpha_{y}$. \\
Projeta-se o vetor v no plano yz, encontrando um vetor p de
coordenadas $\mathbf{(0, v_{y}, v_{z})}$ e m\'odulo igual a 
  $\sqrt{v_{y}^{2} + v_{z}^{2}}$

Sendo $\alpha_{x}$ o \^{a}ngulo $\alpha_{x}$ entre
o vetor p projetado e o eixo z, tem-se
$\cos\alpha_{x} = \frac{v_{z}}{\overline{p}}$ e
  $\sin\alpha_{x} = \frac{v_{y}}{\overline{p}}$ \\
Seja $M_{x}$ a matriz de transforma\c{c}\~a{a}o que implementa a
rota\c{c}\~{a}o em torno do eixo x de $\alpha_{x}$: \\
\begin{equation}\label{Mx}
  M_{x} = \left[\begin{array}{cccc}
    1 & 0 & 0 & 0 \\
    0 & \cos\alpha_{x} & -\sin\alpha_{x} & 0 \\
    0 & \sin\alpha_{x} & \cos\alpha_{x} & 0 \\
    0 & 0 & 0 & 1 \
  \end{array}\right]
\end{equation} \\
Substituindo os valores de $\cos\alpha_{x}$ e $\sin\alpha_{x}$
obtidos acima, tem-se: \\
\begin{equation}\label{Mx}
  M_{x} = \left[\begin{array}{cccc}
    1 & 0 & 0 & 0 \\
    0 & \frac{v_{z}}{\overline{p}} & -\frac{v_{y}}{\overline{p}} & 0 \\
    0 & \frac{v_{y}}{\overline{p}} & \frac{v_{z}}{\overline{p}} & 0 \\
    0 & 0 & 0 & 1 \
  \end{array}\right]
\end{equation} \\
Aplicando a transforma\c{c}\~{a}o acima ao vetor v, utilizando coordenadas homog\^{e}neas, encontra-se o
vetor v', ou seja, $(v_x, v_y, v_z, 1) \cdot M_x$ = $(v_{x}, 0, p, 1) = (v', 1)$.\\
Vamos, agora, calcular o $\alpha_{y}$! \\
$\alpha_{y}$ \'{e} o \^{a}ngulo entre o eixo z e o vetor v'.
Logo, temos $\cos\alpha_{y} = p$ e $\sin\alpha_{y} = v_{x}$. \\
Seja $M_{y}$ a matriz de transforma\c{c}\~a{a}o que implementa a
rota\c{c}\~{a}o em torno do eixo y de $\alpha_{y}$ (note que esse \^{a}ngulo est\'a no sentido hor\'ario): \\
\begin{equation}\label{My}
  M_{y} = \left[\begin{array}{cccc}
    \cos\alpha_{y} & 0 & -\sin\alpha_{y} & 0 \\
    0 & 1 & 0 & 0 \\
    \sin\alpha_{y} & 0 & \cos\alpha_{x} & 0 \\
    0 & 0 & 0 & 1 \
  \end{array}\right]
\end{equation} \\
Substituindo os valores de $\cos\alpha_{y}$ e $\sin\alpha_{y}$
obtidos acima, tem-se: \\
\begin{equation}\label{My}
  M_{y} = \left[\begin{array}{cccc}
    p & 0 & -v_{y} & 0 \\
    0 & 1 & 0 & 0 \\
    v_{y} & 0 & p & 0 \\
    0 & 0 & 0 & 1 \
  \end{array}\right]
\end{equation} \\

No mais, podemos implementar o operador $\psi$ a partir das
opera\c{c}\~{o}es que o comp\~oem e representar por uma matriz de
transforma\c{c}\~{a}o M. \\
\begin{eqnarray*}\label{M}
  M & = &
  \left[\begin{array}{cccc} % Matriz de Rx(theta_x)
    1 & 0 & 0 & 0 \\
    0 & \frac{v_{z}}{\overline{p}} & -\frac{v_{y}}{\overline{p}} & 0 \\
    0 & \frac{v_{y}}{\overline{p}} & \frac{v_{z}}{\overline{p}} & 0 \\
    0 & 0 & 0 & 1 \
  \end{array}\right]
  \bullet
  \left[\begin{array}{cccc} % Matriz de Ry(theta_y)
    p & 0 & -v_{y} & 0 \\
    0 & 1 & 0 & 0 \\
    v_{y} & 0 & p & 0 \\
    0 & 0 & 0 & 1 \
  \end{array}\right]
  \bullet
  \left[\begin{array}{cccc} % Matriz de Rz(theta)
    \cos\theta & -\sin\theta & 0 & 0 \\
    \sin\theta & \cos\theta & 0 & 0 \\
    0 & 0 & 1 & 0 \\
    0 & 0 & 0 & 1 \
  \end{array}\right] 
  \bullet \\ 
& & \left[\begin{array}{cccc} % Matriz de Ry(-theta_y)
    p & 0 & v_{y} & 0 \\
    0 & 1 & 0 & 0 \\
    -v_{y} & 0 & p & 0 \\
    0 & 0 & 0 & 1 \
  \end{array}\right]
  \bullet 
 \left[\begin{array}{cccc} % Matriz de Rx(-theta_x)
    1 & 0 & 0 & 0 \\
    0 & \frac{v_{z}}{\overline{p}} & \frac{v_{y}}{\overline{p}} & 0 \\
    0 & -\frac{v_{y}}{\overline{p}} & \frac{v_{z}}{\overline{p}} & 0 \\
    0 & 0 & 0 & 1 \
  \end{array}\right]
\end{eqnarray*} \\
Multiplicando a primeira matriz pela segunda e a terceira pela
quarta, temos;
\begin{equation}\label{M}
  M = 
\left[\begin{array}{cccc}
  p & 0 & -v_{y} & 0 \\
  -\frac{v_{y}^{e}}{p} & \frac{v_{z}}{p} & -v_{z} & 0 \\
  \frac{v_{y}v_{z}}{p} & \frac{v_{y}}{p} & v_{z} & 0 \\
  0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right]
\bullet
\left[\begin{array}{cccc}
  p\cos\theta & -\sin\theta & v_{y}\cos\theta & 0 \\
  p\sin\theta & \cos\theta & v_{y}\sin\theta & 0 \\
  -v_{y} & 0 & p & 0 \\
  0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right]
\bullet
\left[\begin{array}{cccc} % Matriz de Rx(-theta_x)
    1 & 0 & 0 & 0 \\
    0 & \frac{v_{z}}{\overline{p}} & \frac{v_{y}}{\overline{p}} & 0 \\
    0 & -\frac{v_{y}}{\overline{p}} & \frac{v_{z}}{\overline{p}} & 0 \\
    0 & 0 & 0 & 1 \
  \end{array}\right]
\end{equation} \\
Agora, multiplicamos a primeira pela segunda, e resultou-se em: \\
\begin{eqnarray*}\label{M}
  M & = &
\left[\begin{array}{cccc}
  p^2\cos\theta + v_y^2 & -p\sin\theta & pv_y\cdot(\cos\theta - 1) & 0 \\
  v_y^2\cdot(1 - \cos\theta) + v_z\sin\theta & \frac{v_y^2\sin\theta + 
v_z\cos\theta}{p} & v_yp\cdot(\frac{v_z\sin\theta - v_y^2\cos\theta}{p^2} 
- 1) & 0 \\
  v_yv_z\cdot(\cos\theta - 1) + v_y\sin\theta & 
\frac{v_y}{p}\cdot(\cos\theta - v_z\sin\theta) & 
\frac{v_y^2}{p}\cdot(v_z\cos\theta + \sin\theta) + v_zp & 0 \\
  0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right]
\bullet \\
& & \left[\begin{array}{cccc} % Matriz de Rx(-theta_x)
    1 & 0 & 0 & 0 \\
    0 & \frac{v_{z}}{\overline{p}} & \frac{v_{y}}{\overline{p}} & 0 \\
    0 & -\frac{v_{y}}{\overline{p}} & \frac{v_{z}}{\overline{p}} & 0 \\
    0 & 0 & 0 & 1 \
\end{array}\right]
\end{eqnarray*} \\
Por fim, achamos a matriz de transforma\c{c}\~{a}o M: \\
\begin{equation}\label{Matriz_final}
  M =
\left[\begin{array}{cccc}
  p^2\cos\theta + v_y^2 & v_y^2\cdot(1 - \cos\theta) - v_z\sin\theta & 
A & 0 \\
  v_y^2\cdot(1 - \cos\theta) + v_z\sin\theta & \frac{v_z^2\cos\theta + 
v_y^4\cos\theta}{p^2} + v_y^2 & B & 0 \\
  v_yv_z\cdot(\cos\theta - 1) + v_y\sin\theta & C & D & 0 \\
  0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right]
\end{equation}
onde \\
A = $-v_z\sin\theta + v_zv_y\cdot(\cos\theta - 1)$ \\
B = $\frac{v_y^3\sin\theta + v_yv_z\cos\theta + 
v_yv_z^2\sin\theta - v_zv_y^3\cos\theta}{p^2} - v_zv_y$ \\
C = $\frac{v_yv_z}{p^2} \cdot 
(\cos\theta - v_z\sin\theta) - \frac{v_y^3}{p} \cdot (v_z\cos\theta + 
\sin\theta) - v_zv_yp$ \\
D = $\frac{v_y^2}{p^2} \cdot (\cos\theta + 
v_z^2\cos\theta) + v_z^2$
\end{it}

\section{Quest\~{a}o 05}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% 5a. QUESTAO
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Considere os pontos $P_0 \neq P_1$ no plano. Escreva a matriz de transforma\c{c}\~{a}o em coordenadas homog\^{e}neas que implementa a proje\c{c}\~{a}o ortogonal de qualquer ponto sobre a reta definida por $P_0$ e $P_1$. \\
\begin{it}
Resolu\c{c}\~{a}o: \\
Considera\c{c}\~{o}es: \\
$P_{0}$ = $(x_{0}, y_{0})$ \\
$P_{1}$ = $(x_{1}, y_{1})$ \\
d (dist\^{a}ncia entre os pontos) = $\sqrt{(y_{1} - y_{0})^{2} +
(x_{1} - x_{0})^2}$ \\
$\theta$ = \^{a}ngulo entre a reta e o eixo x, portanto: \\
$\cos\theta$ = $\frac{x_1 - x_0}{d}$ \\
$\sin\theta$ = $\frac{y_1 - y_0}{d}$

Procedimentos:
\begin{itemize}
\item Levar o ponto $P_{0}$ para a origem do sistema,
aplicando o operador $T_{-P_{0}}$. \\
\item Rotacionar de $\theta$ ao redor da origem, de modo que a
reta coincida com um dos eixos (escolhemos o eixo x). Como o
\^{a}ngulo est\'a no sentido hor\'{a}rio, teremos $R_{-\theta}$.
\\
\item Com isso, fica f\'acil pegar a proje\c{c}\~{a}o de um ponto,
pois ser\'{a} a abscissa desse ponto ap\'os as
transforma\c{c}\~{o}es acima citadas. Para isso, utilizamos o
operador de mudan\c{c}a de escala com 1 e 0 como par\^{a}metros.
$(S_{1,0})$. \\
\item Agora, temos que desfazer a opera\c{c}\~{o}es realizadas
anteriormente: $R_{\theta}$ e em seguida, $T_{P_{0}}$. \\
\end{itemize}
Em suma, representamos a proje\c{c}\~{a}o desejada como: \\
\begin{equation}
  \psi = T_{P_{0}} \cdot R_{\theta} \cdot S_{1,0} \cdot R_{-\theta} \cdot 
T_{-P_{0}}
\end{equation} \\
\\
Agora, iremos implementar o operador $\psi$ utilizando coordenadas
homog\^{e}neas. \\
Considere a matriz de transforma\c{c}\~{a}o M, a
implementa\c{c}\~{a}o do operador $\psi$.
\begin{eqnarray*}
  M & = &  
\left[\begin{array}{ccc}
    1 & 0 & 0 \\
    0 & 1 & 0 \\
    -x_{0} & -y_{0} & 1 \
  \end{array}\right]
  \bullet
\left[\begin{array}{ccc}
    \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\
    \sin\theta & \cos\theta & 0 \\
    0 & 0 & 1 \
  \end{array}\right]
  \bullet
\left[\begin{array}{ccc}
    1 & 0 & 0 \\
    0 & 0 & 0 \\
    0 & 0 & 1 \
  \end{array}\right]
  \bullet
\left[\begin{array}{ccc}
    \cos\theta & \sin\theta & 0 \\
    -\sin\theta & \cos\theta & 0 \\
    0 & 0 & 1 \
  \end{array}\right]
  \bullet \\
& & \left[\begin{array}{ccc}
    1 & 0 & 0 \\
    0 & 1 & 0 \\
    x_{0} & y_{0} & 1 \
  \end{array}\right]
\end{eqnarray*}
Muliplicando, agora, a primeira matriz com a segunda e a terceira
com a quarta, temos: \\
\begin{equation}	
  M  = 
\left[\begin{array}{ccc}
    \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\
    \sin\theta & \cos\theta & 0 \\
    -x_{0}\cos\theta -y_{0}\sin\theta & x_{0}\sin\theta -
    y_{0}\cos\theta & 1 \
  \end{array}\right]
  \bullet
\left[\begin{array}{ccc}
    \cos\theta & \sin\theta & 0 \\
    0 & 0 & 0 \\
    0 & 0 & 1 \
  \end{array}\right]
  \bullet
\left[\begin{array}{ccc}
    1 & 0 & 0 \\
    0 & 1 & 0 \\
    x_{0} & y_{0} & 1 \
  \end{array}\right]
\end{equation}
Agora, vamos multiplicar a primeira pela segunda: \\
\begin{equation}
\left[\begin{array}{ccc}
    (\cos\theta)^{2} & \cos\theta\sin\theta & 0 \\
    \sin\theta\cos\theta & (\sin\theta)^2 & 0 \\
    -x_{0}(\cos\theta)^2 -y_{0}\sin\theta\cos\theta & x_{0}(\sin\theta)^2 
-
    y_{0}\cos\theta\sin\theta & 1 \
  \end{array}\right]
  \bullet
\left[\begin{array}{ccc}
    1 & 0 & 0 \\
    0 & 1 & 0 \\
    x_{0} & y_{0} & 1 \
  \end{array}\right]
\end{equation}
Finalmente, temos: \\
\begin{equation}
  M  = 
\left[\begin{array}{ccc}
    (\cos\theta)^{2} & \cos\theta\sin\theta & 0 \\
    \sin\theta\cos\theta & (\sin\theta)^2 & 0 \\
    -x_{0}(\cos\theta)^2 -y_{0}\sin\theta\cos\theta + x_0 & 
x_0(\sin\theta)^2 -
    y_{0}\cos\theta\sin\theta + y_0 & 1 \
  \end{array}\right]
\end{equation}
Onde: \\
$\cos\theta$ = $\frac{x_1 - x_0}{d}$ \\
$\sin\theta$ = $\frac{y_1 - y_0}{d}$ \\
d = $\sqrt{(y_{1} - y_{0})^{2} +
(x_{1} - x_{0})^2}$ 
\end{it}
\end{document}