Relatório das atividades dos últimos 12 meses

A questão central dos meus estudos dos últimos 12 meses foi a eliminação de hiperimaginãrios (EdH) nas teorias simples. EdH é o problema aberto mais importante na investigação das teorias simples. Até agora foi encontrada uma resposta positiva a esta questão somente para a subclasse das teorias supersimples [3].

Seja d uma seqüência contável de imaginários. Um hiperimaginário d/E é uma classe de uma relação de equivalência E tipo-definível sobre o conjunto vazio. Cada elemento real, cada elemento imaginário e cada seqüência de tais elementos pode ser considerado como um hiperimaginário. Se numa teoria T cada hiperimaginário é equivalente a uma seqüência de imaginários (isto é cada isomorfismo do modelo monstro de T fixa o hiperimaginário se e somente se fixa a seqüência de imaginários) então dizemos que T tem (ou permite) EdH.

A generalização adequada do tipo estacionário em teorias estáveis para teorias simples é o conceito da base de amalgamação. Isto é um tipo para qual o teorema da independência é válido. Bases canônicas de bases de amalgamação em teorias simples não são a priori conjuntos de imaginários como nas teorias estáveis, mas aparecem agora como hiperimaginários. Este fenômeno requer o desenvolvimento de uma teoria de hiperimaginários. Mas a esperança é achar condições que permitem EdH. Neste caso é possível tratar bases canônicas como seqüências de imaginários, do mesmo jeito como nas teorias estáveis. Isto quer dizer que em primeiro lugar se estuda a teoria dos hiperimaginários para depois eliminá-los, se isso for possível.

Outra importante conseqüência da EdH é a igualdade de tipos fortes de Lascar e tipos fortes (Lstp=stp). Se A e’ um conjunto de hiperimaginarios entao Lstp(x/A)=tp(x/bdd(A)) onde bdd(A) (bounded closure) e’ o conjunto de todos os hiperimaginarios com orbita limitada sob automorphismos que fixam A. (E’ importante esclarecer o conceito de um tipo sobre um conjunto de hiperimaginarios, veja-se por ex. [3], [9] ou [12].) Cada imaginario em bdd(A) esta’ por compaccidade no fecho algébrico de A (acl(A)). De EdH segue-se Lstp(a/A)=stp(a/A) (=tp(a/A). Isto tem importancia particularmente para algumas teoremas de amalgamacao de tipos (teorema de independencia para tipos fortes de Lascar). No caso Lstp=stp cada tipo completo p sobre A=acl(A) e’ uma base de amalgamacao, isto e’ se B,C conteem A, e C e’ independente de B sobre A e q e r sao tipos completos e extensoes nao-forking de p sobre B e C respectivamente entao a uniao de q e r e’ consistente e nao forks sobre A. Deste modo se obtem informacoes adicionais sobre extensoes nao-forking de um tipo. [1]

Resultados fundamentais da teoria de hiperimaginarios encontram-se em [9]. Alem disso estudei material nao publicado de Casanovas neste contexto. Mais dificil, mas de grande importancia para o meu trabalho era a compreensao de [3]. Este artigo esta’ escrito numa forma bastante densa e contem um montao de ferramentas e tecnicas novas. As fontes [1] e [12] ajudaram-me de entende-las. Varios erros em [3] nao facilitaram os estudos.

[3] representa um significante progresso na pesquisa internacional das teorias simples. Atualmente ha’ tentativas de generalizar os metodos deste trabalho para outras subclasses de teorias simples ou seja demostrar EdH para estas subclasses. Este problema e’ considerado como muito dificil.

Uma aproximacao as questoes EdH e Lstp=stp foi realizado pelo estudo de certas relacoes de equivalencia que se pode investigar em cualquer teoria (completa com modelos infinitos):

E_L(a,b) « E(a,b) para cada realcao de equivalencia invariante e limitada E

E_KP(a,b) « E(a,b) para cada relacao de equivalencia tipo-definivel sobre o conjunto vacio e

limtitada E

E_S(a,b) « E(a,b) para cada realcao de equivalencia definivel e finita E

(As letras “L”, “KP”, “S” referem-se aos nomes de Lascar, Kim+Pillay e Shelah respectivamente.)

Obtemos os seguintes resultados:

1. E_LÍE_KÍE_S
2. E_L e’ invariante e limitada e refina cualquer outra relacao de equivalencia invariante e limitada
3. E_KP e’ tipo-definivel sobre o conjunto vacio e limitada e refina cualquer outra relacao de equivalencia que e’ limitada e tipo-definivel sobre o conjunto vacio
4. E_S e’ tipo-definivel sobre o conjunto vacio e limitada e refina cualquer outra relacao de equivalencia finita e tipo-definivel sobre o conjunto vacio
5. stp(a/A)=stp(b/A) se e somente se E_S(a,b) em T(A).
6. Lstp(a/A)=Lstp(b/A) se e somente se E_L(a,b) em T(A).
7. Em teorias simples vale E_L=E_KP.

Podemos reformular EdH por meio do teorema seguinte:

T elimina hiperimaginarios se e somente se para cada tipo completo p sobre o conjunto vacio e cada relacao de equivalencia tipo-definivel E entre as relacoes de p existe uma familia de relacoes definiveis de modo que E e’ a interseccao desta familia restringida as relacoes de p.

De fato, basta considerar relacoes definiveis cujas restriccoes a p sao relacoes de equivalencia.

Se T elimina hiperimaginarios entao tambem T(A) os elimina para cada conjunto A.

Aqui surgem tres cuestoes importantes com respeito a cualquer teoria T:

1. E’ cada relacao de equivalencia tipo-definivel uma interseccao de relacoes de equivalencia definiveis?

2. E’ cada relacao de equivalencia limitada e tipo-definivel uma interseccao de relacoes de equivalencia definiveis?

3. Elimina T hiperimaginarios?

Obviamente implica 1. os puntos 2. e 3. pelo teorema anterior.

Do mesmo jeito como se prova o teorema anterior e’ possivel demostrar:

E_S=E_KP se e somente se para cada tipo completo p sobre o conjunto vacio e cada relacao de equivalencia limitada e tipo-definivel E entre realizacoes de p existe uma familia de relacoes de equivalencia definiveis de modo que E e’ a interseccao desta familia restringia as relacoes de p. Como antes e’ suficiente que as restriccoes das relacoes definiveis a p sejam relacoes de equivalencia.

Destes fatos segue-se:

Se T elimina hiperimaginarios entao vale E_S=E_KP em T(A) para cada conjunto A.

Por outro lado:

Sob a hipotese E_S=E_KP em T(A) para cada conjunto A obtemos Lstp=stp se e somente se para cada tipo completo sobre A e cada relacao de equivalencia tipo-definivel e A-limitada entre relacoes de p existe uma familia de relacoes de equivalencia A-definiveis de modo que E e’ a interseccao desta familia restringido as relacoes de p.

Vale Lstp=stp em todas as teorias simples?

Ha’ uma classe de teorias simples, as teorias baixas (low theories), que conteem todas as estruturas que sao significantes na “pratica”. As teorias baixas foram descobertas por Buechler em [2] onde ele tambem demostrou Lstp=stp para esta subclasse. As teorias baixas conteem as teorias estaveis e tambem as teorias simples w-categoricas como foi provado ha’ pouco.

Contudo nao se sabe se as teorias baixas eliminam os hiperimaginarios.

Poizat achou um exemplo de uma teoria em cual vale Lstp¹stp.

As consideracoes e os dois resultados seguintes resultaram durante do meu intercambio com Enrique Casanovas:

Um A-hiperimaginario e’ uma classe de equivalencia de uma relacao de equivalencia tipo-definivel sobre o conjunto A. Cada hiperimaginario e’ um A-hyperimaginario (mas nao vice versa!).

Podemos provar:

Se e e’ um hiperimaginario entao existe um hiperimaginario e* de modo que Aut(C/eA)=Aut(C/e*). Se e e’ A-limitado entao podemos escolher e* tambem A-limitado.

(Aut(C/B) seja o grupo dos automorphismos do modelo monstruo que fixam BÍC.)

Para cada hiperimaginario e vale: a relacao F(x,y)Ûtp(x/e)=tp(y/e) e’ tipo-definivel sobre cualquer representante de e.

Com isso pode-se demostrar:

E_KP(a,b) em T(A) se e somente se tp(a/bdd(A))=tp(b/bdd(A)).

O estudo destas relacoes de equivalencia nao e’ somente importante no contexto das teorias simples mas tambem tem interes em si.

Pela introducao do conceito “formula grossa” (thick formula) obtemos outras caracterizacoes interessantes. Aqui vou mencionar os resultados mais importantes cuja elaboracao acompanhei atraves do meu contato com Casanovas. Mais detalhes encontram-se em [8].

Uma formula j(x,y) chama-se grossa se e’ finita, reflexiva e simetrica. nc(x,y) seja o conjunto de todas as formulas grossas. Este conjunto e’ um tipo parcial fechado sob conjuncao, disjuncao e produto de formulas.

As seguintes condicoes sao equivalentes para a¹b:

1. nc(a,b)

2. existe uma sequencia indiscernivel (a_i:i<w) com a=a₀ e b=a₁.

3. existe uma sequencia indiscernivel (a_i:i<w) e ha’ i¹j de modo que a=a_i e b=a_j.

nc(x,y)ⁿ consista nos n-produtos das formulas de nc(x,y). Obtemos:

nc(x,y)Ênc² (x,y) Ênc³ (x,y) Ê... .

O fecho transitivo da relacao definida por nc(x,y) é Ú_nncⁿ(x,y).

Teorema:

1. E_L(a,b) se e somente se Ú_nncⁿ(a,b).

2. Se nc(a,b) entao existe um modelo M de modo que tp(a/M)=tp(b/M).

3. Se existe um modelo M de modo que tp(a/M)=tp(b/M) entao nc²(a,b).

Seja a£w um numero ordinal. Uma formula chama-se a-grossa se existe uma sequencia de formulas grossas (f_i(x,y):i<a) de modo que f₀=f e para cada i<a f²_i+1(x,y)├f_i(x,y).

Teorema:

E_KP e’ definido pelo tipo parcial contendo exatamente todas as formulas w-grossas.

Para uma relacao cualquer R entre sequencias seja cl(R) a menor relacao tipo-definivel que contem R.

Segue-se o resultado:

cl(E_L) e’ axiomatizavel pelas formulas que sao n-grossas para cada n<w.

O ultimo resultado de relevancia neste asunto e’:

E_KP=cl(E_L)○nc.

A partir destas consideracoes Casanovas colocou o seguinte problema:

Suponhamos que E_L=E_KP.

Existe um m<w de maneira que Ú_nncⁿ(x,y)ºnc^m(x,y)?

Consegui demostrar que este problema e’ equivalente a:

Existe un m<w de modo que nc^m(x,y) contem somente formulas w-grossas?

Isto e’ o caso se e somente se o conjunto

{k<w: existe uma formula j que e’ k-grossa mas nao k+1-grossa}

e’ finito.

Plano para os proximos 12 meses

Atraves do conceito “dividing chain” e’ possivel identificar varias subclasses de teorias simples:

Seja a um numero ordinal.

(j_i(x,a_i):i<a) e’ uma dividing chain de comprimento a com respeito a (k_i:i<a) se {j_i(x,a_i):i<a} e’ consistente e j_i(x,a_i) divide sobre {a_j:j<i} com respeito a k_i.

j divide a vezes se existe uma sequencia (a_i:i<a) de maneira que (j(x,a_i):i<a) e’ uma dividing chain (com respeito a k_i).

Obtemos os resultados e definicoes seguintes:

T e’ simple se e somente se nao existe nenhuma dividing chain de comprimento card(T) se e somente se nenhuma formula divide w₁ vezes.

T e’ baixo (low) se e somente se para cada formula existe um numero natural n_j de modo que j nao divide n_j vezes.

T e’ short se e somente se nenhuma formula divide um numero infinito de vezes.

T e’ superbaixo (superlow) se e somente se para cada j existe um numero natural n_j de maneira que nao existe nenhuma dividing chain (j_i(x,a_i):i<n_j) onde cada j_i e’ uma conjuncao de j.

T e’ supershort se e somente se para cada formula j nao existe nenhuma dividing chain (j_i(x,a_i):i<w) onde cada j_i e’ uma conjuncao de j.

Nao e’ dificil ver que ha’ os seguintes inclusoes:

T superlow à T low à T shortà T simple

T supersimple à T supershort à T short à T simple

T superlow à T supershort à T short T à simple

Ha’ exemplos de teorias que ajudam entender o panorama:

T simple, nao short (Casanovas)

T supersimple, nao low (Casanovas, Kim)

T low, nao supershort (Casanovas).

Os problemas EvH e Lstp=stp parecem ser muito dificies para as teorias simples em geral. Por isso se trata de reduzir estas cuestoes a subclasses adecuadas. Assim foi possivel demostrar EvH (e por isso Lstp=stp) para as teorias supersimples [3] e Lstp=stp para as teorias baixas [2]. Identificacao e estudo de subclasses de teorias simples e’ por conseguinte uma tarefa importante.

Em particular as teorias supershort teem certa importancia. Podem ser vistas como uma alternativa as teorias baixas por sua localizacao entre as teorias estaveis e simples e sua definicao natural. Isto motiva as perguntas:

Quais sao os postos (ranks) adequados nas teorias supershort?

Que propiedades teem estes postos?

Estes postos characterizam as teorias supershort?

Tem as teorias (super)short EdH ou pelo menos Lstp=stp?

Uma estrategia de enfrentar o problema Lstp=stp e’ o seguinte:

Para cualquer tipo fixo sobre o conjunto A temos que encontrar uma familia de relacoes de equivalencia definiveis cuja interseccao implica E_KP em T(A). Sabemos que E_KP(a,b) em T(A) se e somente se Lstp(a/A)=Lstp(b/A). E_KP e’ uma relacao limitada (e tipo-definivel), por isso as relacoes de equivalencia definiveis em cuestao sao finitas. Isto implica: Se stp(a/A)=stp(b/A) entao Lstp(a/A)=Lstp(b/A) (visto que stp(a/A)=stp(b/A) se e somente se E(a,b) para todas as relacoes de equivalencia finitas e definiveis sobre A.)

Outra possibilidade de resolver o problema resulta da demonstracao de Buechler de Lstp=stp nas teorias baixas [2] (veja-se tambem o ultimo capitulo de [12]):

Uma analise desta demostracao deixa claro que e’ suficiente mostrar:

(*) Para cada formula j(x,y) e cada conjunto A ha’ um tipo parcial q(y) sobre A de modo que j(x,a) divide sobre A se e somente se ╞q(a).

Se uma teoria simple T cumpre (*) entao Lstp=stp sobre cualquer conjunto A em T.

Para investigar esta condicao nas teorias (super)short poderia ser util um posto adequado.

Nos proximos meses dedicarei-me a estes problemas. E’ bem provavel achar em breve respostas satisfatorias, ao menos no contexto das terias (super)short.

Bibliografia

[1] St. Buechler. Essential Stability Theory. Springer Verlag, Berlin, 1996

[2] St. Buechler. Lascar strong types in some simple theories. Journal of Symbolic Logic,

volume 64, number 2, june 1999

[3] St. Buechler, A. Pillay, F.O. Wagner. Supersimple theories. Preprint, september 2000

[4] E. Casanovas. The number of types in simple theories. Annals of Pure and Applied Logic,

98:69-86,1999

[5] E. Casanovas. Thick formulas. Preprint, march 1999

[6] E. Casanovas. The new example. Preprint, february 2000

[7] E. Casanovas, B. Kim. A supersimple non-low theory. Notre Dame Journal of Formal

Logic. To appear.

[8] E. Casanovas, D. Lascar, A. Pillay, M. Ziegler. Galois groups of first order theories.

Preprint, dezember 2000.

[9] B. Hart, B. Kim, A. Pillay. Coordinatization and canonical bases in simple theories. The

journal of Symbolic Logic 65 (2000) 293-309

[10] B. Kim. Simple first order theories. Ph.D. thesis. University of Notre Dame. 1996

[11] D. Lascar, A. Pillay. Hyperimaginaries and automorphism groups. To appear in the

Journal of Symbolic Logic.

[12] F. O. Wagner. Simple Theories. Kluwer Academish Publishers. NL, 2000

Recife, Setembro de 2001

Steffen Lewitzka

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[1] Parece que ainda nao existe nenhuma terminologia padrao no portugues para varias nocoes da teoria da simplicidade e estabilidade. Por isto recorremos em alguns casos as nocoes em ingles ou as misturamos com o portugues se isso nos parece conveniente (forking, nao-forking, … ). E’ de esperar que no futuro uma divulgacao dos estudos desta area melhore esta situacao.